E14 A neuszisz vonalzó
Alapok
Azt, hogy mi is pontosan az euklideszi szerkesztés, itt foglaltuk össze. Ebben az anyagban megemlítettük, hogy az ókori matematikusok felvetettek néhány olyan problémát amelyeket ezekkel a szigorú feltételeknek megfelelve nem tudtak megoldani. Közel kétezer évnek kellett eltelnie ahhoz, hogy kiderüljön, ezek nem is oldhatók meg. Mindezt itt is megemlítettük, amellett, hogy erről a kérdésről bőséges irodalom áll az érdeklődők rendelkezésére.
Itt azt a szerkesztő eszközt mutatjuk be, amellyel kiegészítették ókori elődeink az euklideszi szerkesztés eszköztárát azért, hogy a megoldhatatlannak tűnő szerkesztési problémáikra találjanak - áthidaló - megoldást. Ez a neuszisz - betoló - vonalzó, vagy jelölt vonalzó.
Lényegében egy olyan vonalzó, amelyen bejelöltük egy adott szakasz - a diasztéma - két végpontját, és úgy illesztjük a rajzlapra, hogy egy adott pontra - az O fókuszpontra - illeszkedjen, és a bejelölt szakasz végpontjai illeszkedjenek egy-egy adott egyenesre (vagy körre): a vonalzón bejelölt szakasz P kezdőpontjának a p vezérvonalra - a direktrixre - R végpontjának a q célvonalra kell illeszkednie. A PR diasztéma lényegében egy irányított szakasz, iránya megegyezik a [PO) félegyenes irányával.
Az O centrum, a d távolság és a p vezérvonalon futó P pont egyértelműen meghatározza az R pontok mértani helyét, amelyet konhoisznak nevez a matematikai szakzsargon. (Az alábbi appletben ezeknek a ritkán használt fogalmaknak rendre megjelenik a neve, ha a ? melletti ponttal megközelítjük a nekik megfelelő alakzatokat.)
Egy "kézbe vehető" neuszisz vonalzónak a használata elvileg egyszerű, gyakorlatilag kevésbé lenne az.
Addig amíg az euklideszi szerkesztés alkalmazójának csak arra kell "ügyelnie", hogy a vonalzója illeszkedjen a két megadott pontra, itt a P pontot addig kell "betolni" a p vezérvonalon, - ügyelve arra, eközben illeszkedjen a vonalzó az O fókuszra - amíg R nem illeszkedik a q célvonalra. vagyis két illeszkedési feltétel helyett itt háromra kellene egyszerre odafigyelnünk.
Az alábbi appletben a p vezérvonalon mozgatható P pont beállításával próbáljuk ezt a pozíciót elérni. Legyen Q = q∩[P,O). Ekkor az imént említett három feltételt egyetlen vizsgálat helyettesíti: R ≟ Q . A GeoGebra lehetőségeit kihasználva a vonalzó színével jelezzük, hogy a PR<0, vagy a PR>PQ egyenlőtlenség áll-e fenn, vagy esetleg sikerült beállítani a kívánt R=Q helyzetet.
Kezdő helyzetben egy ilyen "jól beállított" értékkel indul a program, de ugyanezt újból elérni bizony nem egyszerű. Meg fogjuk mutatni, hogy a GeoGebra eszköztárával ez hogyan oldható meg. Egyelőre kövessük most is az euklideszi szerkesztés alapelvét: tegyük fel, hogy az eszközeink tökéletesek, és hiba nélkül alkalmazzuk őket.
A neuszisz vonalzó
A neuszisz vonalzó alkalmazása.
Mire használható ez az eszköz? Lényegében arra, hogy ha sikerült "jól" beállítanunk, le lehet róla olvasni néhány adatot: pl. az OR , vagy OV szakasz hosszát, a (PO) egyenesnek- vagyis a vonalzónak - a p vezérvonallal ill. a q célvonallal alkotott szögét. Ezen túlmenően, ha épp úgy, ahogy "rajzolásra", egy geometriai objektum felvételére használjuk a két euklideszi eszközt, az ezzel megrajzolt konhoisz görbét is megadható geometriai objektumnak tekinthetjük, amelyen pl. metszéspontok jelölhetők ki.
Mint látni fogjuk, ez elegendőnek is bizonyult ahhoz, hogy azt mondhassák az ókor matematikusai: a neuszisz vonalzóval jórészt megoldhatók az euklideszi szerkesztéssel megoldhatatlannak tűnő problémák. Persze azonnal hozzátették, hogy ez egy "magasabb rendű" eszköz, így az ezzel kapott szerkesztés nem tartozik az euklideszi szerkesztés körébe, okot ad a fanyalgásra.
Manapság, amikor a számítógépeink alkalmazásával gátlás nélkül "felvesszük" kúpszeletek, függvények metszéspontjait, megszerkesztettnek tekintve azokat, még inkább elmosódik az "elvi" és "gyakorlati" megoldás közötti választóvonal. Pedig nem ártana olykor szem előtt tartanunk.
Ha a neuszisz szerkesztéshez szükséges adatok: (O,d, p és q ) általános helyzetűek, akkor még a mai bőséges (?) matematikai és számítástechnikai eszköztárunkkal is nehezen megoldható feladathoz jutunk. Főként, ha egy feladat pontos megoldását keressük. Ha viszont az O pont illeszkedik a p vagy q egyenesre, vagy ezek szögfelezőjére, esetleg az O pont helyett a PQ egyenes iránya adott, akkor a feladat kezelhetően könnyű szerkesztési feladattá szelídül.
Ha könnyedén és pontosan meg tudnánk határozni a konhoisznak és a célvonalnak a metszéspontjait, akkor a feladatot gyakorlatilag is megoldottnak tekinthetnénk. Ez viszont nincs így. A Geogebra lehetőségei iránt erősen érdeklődő olvasóink számára azonban nyitva áll ennek a lényegében programozástechnikai problémának a megoldása.
Másik lehetőségünk, ha tudjuk, hogy jeles elődeink hogyan használták a problémáik megoldására a neuszisz vonalzót, mi már ismerjük az így kapott eredményeiket, akkor a GeoGebra eszköztárával (azzal, hogy pl. tudunk sugarú kört rajzolni), demonstrálni tudjuk a neuszisz vonalzó használatát. Ezt a könnyebb utat választjuk.
1. A déloszi probléma: a kockakettőzés problémája.
Lényegében erről szólt a KöMaL B5153. számú feladata. Így itt most csak megmutatjuk, hogy ezt miként oldották meg annak idején, a neuszisz vonalzó felhasználásával. Megjegyezzük, hogy más eszközökkel is meg lehetett "szerkeszteni" az egységnyi szakaszból a hosszú szakaszt. Például Bolyai Farkas két parabola metszéspontját megadva kapott megoldást, de elvileg ez sem különbözik a neuszisz szerkesztéstől, mivel a parabola nem szerkeszthető meg az euklideszi eszközökkel.
2. A triszekció: a szögharmadolás problémája.
A probléma lényege, hogy euklideszi szerkesztéssel megszerkeszthető-e bármely adott szög egyharmada. Nyilvánvaló, hogy vannak harmadolható szögek, pl. a 90°, így a 45° is, de ma már igazolható, hogy pl. a 60°-os szög harmada, vagyis 20°- os szög nem szerkeszthető. Erre is alkalmas a neuszisz vonalzó. Elegendő a 90°-nál kisebb szögekre megmutatni a szerkesztést. Ha egy szög nagyobb 90°-nál, levonunk belőle 90°-ot, a maradékot harmadoljuk, majd hozzáadunk 30°-ot. Az alábbi applet annyiban tér el az eddigiektől, hogy az O fókuszpont egy tetszőleges kör 90°-os körívén mozog, a q célvonal maga a kör, a d diasztéma a kör sugara. Annak az igazolását, hogy ez a szerkesztés helyes, olvasóinkra bízzuk
Szabályos hétszög neuszisz szerkesztése.
Itt, ahol szabályos ötszöget szerkesztettünk euklideszi szerkesztéssel, felvetettük, hogy vajon szerkeszthető-e a szabályos hétszög? Innen kiderül, hogy nem. És a neuszisz vonalzóval?
Azzal - mint látni fogjuk - igen. Ehhez azonban fel kell ismernünk - ha úgy tetszik: be kellene bizonyítanunk egy fontos összefüggést, amit több különböző formában is megfogalmazunk.
Feladat:
- Az alábbi ábrán egy szabályos hétszög csúcsai, rövidebbik átlói és ezek metszéspontjai láthatók. Mutassuk meg, hogy az ábrán megjelölt szakaszok között fennáll a kapcsolat!
- Legyenek az egységnyi oldalú szabályos hétszög csúcsai rendre A,B, C, D, E, F, G . Legyen H a CF és CG átlók metszéspontja. Mekkora az x= AH szakasz?
Erre a második kérdésre adtunk egy trigonometrikus összefüggéseken alapuló választ. A kapott eredmény első pillantásra elég ijesztőnek tűnik, azonban a GeoGebra CAS 10-13 pontosságig, nagy testvére, a Wolfram alpha teljes meggyőződéssel állítja, hogy
A GeoGebra fejlesztő csoportjának a tagja Kovács Zoltán aki a formális (numerikus számolást mellőző) gépi matematikai bizonyítás kifejlesztésével foglalkozik. Ez a GeoGebra Discovery nevű - egyelőre még fejlesztés alatt álló, így nem nyilvános - program alkalmas lehet arra, hogy egymással nem egyenlő szakaszok közötti kapcsolatot is felderítsen. Ez a program is megerősítette: a fenti összefüggések valóban fennállnak.
Mai szemmel is csodálatra méltó, hogy mindezt több mint 2000 éve a görögök ismerték. Érdeklődő olvasóink pl. itt ismerkedhetnek meg Arkhimédész konstrukciójával.
Megmutatjuk, hogy elődeink miként használták fel a fenti összefüggést a szabályos hétszög neuszisz szerkesztésére.
Ennek a szerkesztésnek a célja, hogy a neuszisz vonalzó felhasználásával megkapjunk pl. az adott AB oldalú szabályos hétszög köré írt körének az AB szakaszfelező merőlegesével alkotott metszéspontjait, vagy legalább egy szöget, Jelen esetben ez az , amelynek az ismerete elegendő egy szabályos hétszög megszerkesztéséhez.
Mint látni fogjuk, az alábbi appletben a fókusz, a direktrix és a diasztéma olyan konhoisz görbét állít elő, amelyet több "jó" pontban is metszhet a neuszisz vonalzó.
E sorok írója itt kér elnézést olvasóitól az egy mondatba összezsúfolt sok idegen szóért. Tekintsék ezt az ókori görög matematikusok előtti tiszteletadásnak.