El esqueleto de los poliedros
- Autor:
- Rafael Losada Liste
- Tema(s):
- Construcciones, Diagramas, Sólidos o Figuras 3D
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Redes y Grafos.
Observa que, en el ejemplo del Five Room puzzle, el grafo correspondiente al puzle no es un grafo simple.
Por el contrario, si proyectamos las aristas de cualquier poliedro sobre un plano, el grafo resultante es siempre un grafo simple. Esto es evidente, ya que dos vértices de un poliedro nunca se unen por más de una arista.
Pues bien, se puede demostrar que este grafo resultante siempre es un grafo plano, es decir, podemos transformarlo en un grafo isomorfo en donde ningún par de aristas se corte (diagrama de Schlegel).
En la siguiente construcción, intenta transformar el grafo simple, resultado de proyectar un icosaedro, en un grafo plano (es decir, intenta que las aristas no se corten). Para ello, activa la casilla Grafo y aplica este método: elige una región y coloca el resto de los vértices dentro.
Hacia 1850 el matemático W. R. Hamilton patentó un juego que llamó Viaje por el Mundo. Consistía en encontrar un recorrido que pasase por 20 ciudades situadas en los nodos del grafo del dodecaedro (que es equivalente a un recorrido por los 20 vértices del dodecaedro). Desde entonces, se llaman caminos hamiltonianos a los recorridos que visitan todos los vértices de un grafo una sola vez (en los caminos eulerianos, era cada arista la que se recorría una sola vez).
Puedes intentar encontrar un camino hamiltoniano en el icosaedro de la construcción. También puedes intentar resolver el juego original de Hamilton (elige dodecaedro en vez de icosaedro). En ambos casos, si activas la casilla Cadena podrás ayudarte de la cadena roja para señalar el recorrido.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.