Análisis de concepto.
1. Discuta las diferencias, si las hay, entre la curva trazada por el punto terminal de la función vectorial
r(t) = {f(t), g(t)} y la curva definida paramétricamente por x = f(t), y = g(t).
R: La diferencia es, la función vectorial r(t) = {f(t), g(t)} puede representar o indicar en que parte del espacio se encuentra un objeto en cualquier momento, mientras que x =f(t), y =g(t)son funciones separadas que describen puntos en el espacio.
2. En el ejemplo 1.3, describe la “sombra” de la hélice en él plano xy (la sombra creada al hacer brillar una luz desde la "parte superior" del eje z). De manera equivalente, si la hélice está colapsada hacia abajo, en el plano xy, describa la curva resultante. Comparar esta curva a la elipse definida paramétricamente por x = sen t, y = −3 costo.
R:En el ejercicio 1.3 podemos observar la sombra forma un cilindro alrededor del eje z, mientras qué en la curva de x=sen(t), y=-3cos(t) es una elipse que se mueve entre en eje "x" y el eje "y" que si agarramos
solo los reales sería hacia arriba igual que en el ejercicio 3.
3. Discuta cómo calcularía la longitud del arco de una curva en cuatro o más dimensiones. En concreto, para la curva trazada por el punto terminal del vector n-dimensional función r(t) = f1(t), f2(t), ..., fn (t) para n ≥ 4, enunciar el arco fórmula de longitud y discutir cómo se relaciona con el n-dimensional fórmula de distancia
R: Lo que se puede hacer en este caso es considerar una curva espacial trazada por el punto final de la función con valores vectoriales r(t) = f (t), g(t), h(t), donde todas continuas para t ∈ [a, b] y
donde la curva se recorre exactamente una vez a medida que "t" aumenta de "a" a "b". Y de esta manera, comenzamos dividiendo el intervalo [a, b] en n sub intervalos de igual
tamaño: a = t0 < t1 < ··· < tn = b, donde ti − ti−1 = t = , para todo i = 1, 2,..., n. Próximo,
para cada i = 1, 2,..., n, aproximamos la longitud del arco si de la parte de la curva que une los puntos
(f(ti−1), g(ti−1), h(ti−1)) y (f (ti), g(ti), h(ti)) por la distancia en línea recta entre los puntos. Además, esto se relaciona con la fórmula n-dimensional, de manera de que esta fórmula nos ayuda a hacer una aproximación tomando un límite de puntos de partición tendido a n.
4. La hélice de la figura 11.4a se muestra desde un punto de vista estándar (sobre el plano xy, entre los ejes x e y). Describe lo que vería un observador en el punto (0, 0, −1000).
Además, describa qué observadores en los puntos (1000, 0, 0) y
(0, 1000, 0) vería.
R:En el punto (0,0,-1000), lo que podemos observar es que la hélice seguirá tomando la misma figura hasta llegar a -1000, pero los ejes x e y estarían en el origen. Mientras en los puntos (1000, 0, 0) y (0, 1000, 0) la hélice se haría más ancha en sus puntos respectivos.