Varignonova věta - krok za krokem (02)
- Autor:
- Roman Hašek
Varignonova věta: Středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří rovnoběžník.
Důkaz: K důkazu Varignonovy věty využijeme větu o střední příčce trojůhelníku, která říká, že střední příčka trojúhelníku (tj. úsečka spojující středy dvou jeho stran) je rovnoběžná s protilehlou stranou trojúhelníku a její délka je rovna polovině délky této strany.
Pokud si čtyřúhelník rozdělíme jednou jeho úhlopříčkou na dva trojúhelníky, viz úhlopříčka AC v obrázku, můžeme na každý z těchto trojúhelníků, viz modrý trojúhelník ACD a zelený trojúhelník CAB v obrázku, aplikovat uvedenou větu o střední příčce. Potom je zřejmé, že HG || AC a EF || AC, odkud plyne, že HG || EF a zároveň |HG| = 1/2 |AC| a |EF| = 1/2 |AC|, odkud zase plyne, že |HG| = |EF|.
Víme tedy, že HG || EF a zároveň |HG| = |EF|. Potom je zřejmé, že i FG || EH a |FG| = |EH|. Čtyřúhelník EFGH je proto rovnoběžník.