Fractions continues et demi-plan de Poincaré, Partie 5
- Auteur :
- Ole
- Thème :
- Fractions
Partie 5 d'un exposé sur les liens entre l'algorithme des fractions continues, les cercles (ou plutôt horocycles) de Ford et le demi-plan de Poincaré
On visualise avec cette cinquième figure que le développement en fraction continue de l'abscisse du point de notre dernier phylactère a des coefficients qui forment à partir du rang 2 un palindrome.
Ce phénomène s'interprète géométriquement dans le demi-plan de Poincaré.
Si l'on considère la suite définie par la donnée d'un premier rationnel positif et par la récurrence alors tous les points sont sur une même géodésique, celle qui passe par et .
Les points idéaux de cette géodésique sont alors calculables, car ils sont les deux solutions réelles d'une équation polynomiale canoniquement héritée du rationnel initial , ce qui rappelle un des tous premiers résultats (désormais classique) obtenus par le jeune Evariste Galois.
Pour le dire autrement, notre suite est une suite extraite de la suite (INFINIE celle-là) des réduites de l'abscisse irrationnelle du point idéal (à droite) de notre géodésique.
Notre interprétation géométrique consiste à faire le lien entre les symétries palindromiques des développements et des symétries centrales de centre les points .
Et surtout, plutôt que de "perdre du temps à slalomer" sur un chemin connexe par arcs d'horocycles de Ford, comme on le proposait systématiquement dans les figures précédentes de cet exposé, on a désormais envie de prendre des raccourcis...
C'est le motif de l'introduction de nouvelles isométries du demi plan de Poincaré (hypertranslations - isométries directes codables par des matrices de déterminant 1 et hypertranslations glissées -isométries indirectes codables par des matrices de déterminant -1) qui réalisent ces raccourcis.
De plus, la symétrie observée entre les deux points idéaux de notre géodésique ouvre la possibilité de définir les réduites d'indices négatifs, et laisse entendre que des morphismes de groupes, définis sur des hyperboles par cordes et tangentes ne sont pas loin...
Enfin, ce travail fournit un premier exemple fondamental d'enrichissement connectique du graphe de Stern Brocot, qui laisse espérer d'autres enrichissements connectiques et donc de nouveaux algorithmes arithmétiques...