Egy rekurzió
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
Tekintsük a következő rekurziót!
1. Milyen valós -re ad ez a rekurzió (végtelen) sorozatot?
2. Milyen valós -re lesz a rekurzió által megadott sorozat
a) monoton;
b) korlátos;
c) konvergens?
d) Ha konvergens a sorozat, akkor mi a határértéke?
Segítség a sejtéshez
1. részállítás bizonyítással
Ez is segíthet:
Úgy tűnik, hogy az egyenlet megoldásainak szerepe lehet a problémában: .
Az utóbbi tárgyalásmódot Dr. Karsai János tanár úr, Matanság klubban tartott előadásából ismerhetjük.
A fentiek alapján eljuthatunk a sejtésekhez:
Sejtések:
- Az 1. részállításban szereplő első tagok kivételével a rekurzió (végtelen) sorozatot ad. ("jó" első tag)
- a) A sorozat egyik első tag esetén sem monoton. b) A sorozat minden "jó" első tagra korlátos (, hiszen konvergens). c) A sorozat minden "jó" első tagra konvergens. d) Bármely "jó" első tag esetén a sorozat határértéke (aranymetszés).
Tóth Julianna tanárnő meggondolásai
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a fenti sejtéseket Tóth Julianna tanárnő bebizonyította, így azok tétellé váltak.