Gráficos de Funções
- Autor:
- Pré-Cálculo UFBA
- Tópico:
- Funções, Gráfico de função
As relações entre variáveis muitas vezes são melhor entendidas através da visualização de um gráfico. Existem vários tipos de gráficos, mas vamos nos concentrar nos gráficos de funções. Tudo começa com uma ideia revolucionária: a ideia de sistema de coordenadas cartesiano, que leva esse nome justamente por causa de seu inventor, René Descartes. Dadas duas retas perpendiculares, chamadas de eixos, que se encontram em um ponto O, chamado origem do sistema de coordenadas, e fixada uma unidade de medida, temos uma maneira bem definida de associar um par de números a cada ponto do plano determinado pelos eixos, conhecido como plano cartesiano, e vice-versa, cada par de números determina um único ponto. Mova o ponto na figura interativa abaixo para ver o que acontece.
A correspondência entre pontos do plano e pares de números é obtida da seguinte maneira: traçamos uma reta paralela ao eixo vertical (o eixo das ordenadas) passando pelo ponto . Essa reta intersecta o eixo horizontal (o eixo das abscissas) em um único ponto, que por sua vez corresponde a um número real específico, já que fixamos a unidade de medida. Este número é chamado de abscissa do ponto A. Analogamente, podemos traçar uma reta paralela ao eixo horizontal que passa por A, que intersecta o eixo vertical em um ponto que corresponde a um número real conhecido como ordenada de A. Assim, construímos um par de números para cada ponto do plano. Invertendo o processo, é fácil ver que para cada par ordenado de números podemos obter um único ponto do plano.
Equações e Curvas
Mas o grande salto de Descartes foi mostrar como podemos usar a ideia de plano cartesiano para interpretar equações como curvas ou, inversamente, curvas como equações: se podemos associar pontos a pares de números e vice-versa, dada uma equação nas variáveis e podemos formar o conjunto dos pontos do plano que correspondem aos pares de números que satisfazem a equação. Assim, podemos transformar um objeto algébrico (uma equação) em um objeto geométrico (uma curva formada pela totalidade dos pontos). É possível também fazer o contrário, pegar um curva definida por alguma condição geométrica e tentar encontrar uma equação que é satisfeita por todos os pontos da curva (em um sistema de coordenadas apropriado). Por exemplo, considere a equação
Podemos verificar diretamente que os pontos , e satisfazem a equação. Fazendo , vemos também que também são soluções. Em geral, sempre que teremos duas soluções para , . Não é fácil entender como todos os pontos que correspondem a essas soluções estão distribuídos no plano. Mas usando uma calculadora gráfica como o GeoGebra, chegamos à seguinte gráfico:
Muitas equações dão origem à curvas bonitas:
Gráficos de Funções
Nas figuras acima, pode acontecer de uma reta vertical intersectar o gráfico da equação em mais de um ponto. Mas se a dependência entre as variáveis é funcional, ou seja, se para cada em um certo domínio podemos associar um único , o gráfico tem a propriedade que toda reta vertical intersecta o gráfico em no máximo um ponto. Vejamos alguns exemplos:
Como Desenhar o Gráfico de uma Função
O jeito mais simples de desenhar o gráfico de uma função é calcular o valor de para muitos números no domínio da função e depois ligar os pontos assim gerados por segmentos de retas. Se o número de pontos for suficientemente grande, teremos a impressão de uma curva suave.