9.1 Introducción

Autor:
Alfonso Meléndez

Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) Dinamarca. Erhard Schmidt (1876-1959) Berlín

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero: . Este capítulo se mueve a subespacios ortogonales, bases ortogonales y matrices ortogonales.Una base es un conjunto de vectores independientes que genera un espacio. Geométricamente, es un conjunto de ejes coordenados. Un espacio vectorial se define sin estos ejes, aunque cada vez que se piensa en el plano x-y, en el espacio tridimensional o en Rn, ahí están los ejes. ¡Suelen ser perpendiculares! Los ejes coordenados producto de la imaginación prácticamente siempre son ortogonales. Al elegir una base, se tiende a una ortogonal. Los subespacios ingresaron en el capítulo anterior para arrojar luz sobre . De inmediato usamos el espacio columna y el espacio nulo. Luego la luz alumbro la matriz traspuesta , descubriendo otros dos subespacios Esos cuatro subespacios fundamentales revelan lo que realmente hace una matriz.Una matriz multiplica un vector: A por x. En el primer nivel esto son solo números. En un segundo nivel es una combinación de vectores columna. En un tercer nivel estos vectores construyen subespacios. Pero no se ha visto la imagen completa hasta que mire con detenimiento la siguiente figura

Los cuatro subespacios fundamentales son más que solo ortogonales en pares.Sus dimensiones también son correctas. Dos líneas puede ser perpendiculares en , pero esas líneas no pueden ser el espacio de fila y el espacio nulo de una matriz de 3 por 3. Las lineas tienen dimensiones 1 y 1 y esto suma 2. Pero las dimensiones correctas r and n - r nos dice que estas dimensiones deben sumar 3 Los subespacios fundamentales de una matriz de 3 por 3 tienen dimensiones 2 y 1, o 3 y 0. Esos pares de subespacios no son solo ortogonales, son complementos ortogonales. Lo contrario también es cierto. Si es ortogonal al espacio nulo, debe estar en el espacio fila. De lo contrario, podríamos agregar esta como una fila adicional de la matriz, sin cambiar su espacio nulo. El espacio de fila crecería, lo que infringe la ley r + (n - r) = n. Concluimos que el complemento del espacio nulo es exactamente el espacio fila.Del mismo modo, el espacio nulo de la traspauesa y el espacio de la columna son ortogonales y son complementos ortogonales. Sus dimensiones r y m - r se suman a la dimensión completa m. El punto de "complementos" es que cada vector se puede dividir en un componente de espacio de fila y un componente de espacio nulo . Cuando multiplica la Figura 4.3 muestra qué le sucede a : * El componente de espacio nulo va a cero: . * El componente de espacio de fila va al espacio columna: ¡Cada vector va al espacio columna! Multiplicar por A no puede hacer otra cosa. Más que eso: cada vector en el espacio de la columna proviene de un solo vector en el espacio fila. (Prueba: si , la diferencia está en el espacio nulo. También está en el espacio de fila, de donde provienen y . Esta diferencia debe ser el vector cero, porque el espacio nulo y el espacio fila son perpendiculares. Por lo tanto, Hay una matriz invertible de r por r que se esconde dentro de A, si desechamos los dos espacios nulos. Desde el espacio de fila hasta el espacio de columna, A es invertible. Vale la pena repetir un hecho claro. Una fila de A no puede estar en el espacio nulo de A (a excepción de una fila cero). El único vector en dos subespacios ortogonales es el vector cero.Si un vector es ortogonal a sí mismo, entonces es el vector cero.

Uno de los fundamentos del álgebra lineal es el concepto de base ortogonal. Se requiere una base para convertir construcciones geométricas en cálculos algebraicos, y se necesita una base ortogonal para que estos cálculos sean sencillos. Hilando más delgado los vectores deben tener longitud 1, para tener una base ortonormal (vectores unitarios ortogonales) se encuentra que:

l. la longitud I|xll de un vector; 2. la prueba x.y= O para vectores perpendiculares; y 3. cómo crear vectores ortogonales a partir de vectores linealmente independientes. Más que vectores perpendicualres , tenemos subespacios que también pueden ser perpendiculares. Se descubrirá, de manera tan hermosa y simple que será una delicia ver, que los subespacios fundamentales se encuentran a ángulos rectos. Estos cuatro subespacios fundamentales son perpendiculares por pares, dos en y dos en . Esto completará el teorema fundamental del álgebra lineal. El primer paso es encontrar la longitud de un vector, que se denota por llxll, y en dos dimensiones proviene de la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase la figura). El cuadrado de la longitud fue proporcionado hace mucho tiempo por Pitágoras: En el espacio tridimensional, es la diagonal de una caja (véase la figura ). Su longitud proviene de dos aplicaciones de la fórmula de Pitágoras. El caso bidimensional se ocupa de a través de una base. Esto forma un ángulo recto con el lado vertical . La hipotenusa del triángulo (nuevamente Pitágoras) es la longitud llxll que se busca:

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