Propositie 18
In een driehoek ligt de grootste hoek tegenover de langste zijde.
Inleiding
Propositie 18 is de eerste van een reeks van drie proposities (18, 19 en 20) die gaan over de relatie tussen de zijden en hoeken van een driehoek. Ze bouwen op elkaar voort: propositie 18 bewijst dat een langere zijde een grotere hoek geeft, propositie 19 bewijst het omgekeerde, en propositie 20 bewijst de driehoeksongelijkheid.
Propositie 18 is een elegant bewijs waar Euclides slim gebruik maakt van twee eerder bewezen stellingen: De basishoeken in een gelijkbenige driehoek zijn gelijk en een buitenhoek van een driehoek is groter dan elke niet-aanliggende binnenhoek.
Vergeten hoe Euclides deze stellingen bewijst? Neem dan een kijkje bij propositie 5 en propositie 16.
Oude versie
In elke driehoek ligt de grootste hoek tegenover de langste zijde.
ABC is een driehoek met zijde AC groter dan AB. Ik zeg dat de hoek ABC ook groter is dan de hoek BCA.
Omdat AC groter is dan AB, maak AD gelijk aan AB. (prop 3)
Trek BD. (post 1)
Omdat de hoek ADB een buitenhoek is van de driehoek BCD, is ze groter dan de niet-aanliggende binnenhoek DCB. (prop 16)
Maar de hoek ADB is gelijk aan de hoek ABD, omdat de zijde AB gelijk is aan AD. (prop 5)
Dus is de hoek ABD ook groter dan de hoek ACB. Dus is de hoek ABC veel groter dan de hoek ACB.