Hexagone de Bergson comme section plane du cube

[i]Section plane déterminée par les milieux d'arêtes parallèles du cube.[/i][br]Problème donné au concours général de 1896 où Bergson eut le premier prix.[br][br]Les points I, J, K, L, M et N sont les milieux des arêtes du cube de centre O.[br]Quelle est la nature de l'hexagone IJKLMN ?[br][br]Cas particulier de la [url=http://tube.geogebra.org/material/simple/id/433169][i]section du cube par un plan variable[/i][/url] perpendiculaire à la diagonal [DF], plan perpendiculaire en O, au milieu de cette diagonale
[i]Indications[/i][br]Il est facile de démontrer que les six segments sont égaux (à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube) et parallèle deux à deux :[br]par exemple (IJ) // (AC) // (EG) // (LM).[br]Dans un cube de côté 1, les côtés de l'hexagone sont de même longueur [math]\frac {\sqrt 2} 2[/math].[br][br]En géométrie dans l'espace il faut montrer que les six points sont coplanaires : dans le plan passant par O parallèle au plan (ACH).[br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra_3D_troisieme.html][color=#0066cc]GeoGebra 3D en troisième[/color][/url][br]La [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/epreuve_pratique_espace.html#edu19]géométrie dans l'espace en terminale S à l'épreuve pratique[/url]

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