Classificando um Sistema de Equações
Investigando as Exceções
Será que todo sistema se cruza em um único ponto?
2º caso:
As Retas Gêmeas
Imagine que você recebeu duas pistas sobre um problema, mas percebe que a segunda pista diz exatamente a mesma coisa que a primeira, só que de um jeito diferente.
No GeoGebra, isso cria um efeito visual curioso que vamos investigar agora.
Atividade 1: O Mistério das Identidades
1º Digite no campo de entrada do GeoGebra a equação:
2º Agora, digite a segunda equação e veja o que acontece:
Onde foi parar a segunda reta?
Quantas são as soluções para este sistema?
Retas Coincidentes
Ao digitar a segunda equação, parece que a primeira "mudou de cor" ou que a segunda sumiu. Na verdade, elas estão exatamente uma sobre a outra.
- Elas possuem o mesmo declive.
- Possuem os mesmos pontos.
- Qualquer solução da primeira resolve a segunda.
Você chegou a uma resposta? O resultado que você encontrou é verdadeiro ou falso?
Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Dizemos que o sistema é Possível e Indeterminado. É possível porque tem resposta, mas é indeterminado porque existem tantas soluções que não podemos listar apenas uma.
A matemática nos diz: se uma regra é múltipla da outra, elas são "a mesma regra".
Note que pegamos a primeira equação () e multiplicamos todos os termos por 2 ().
Ou seja, quando multiplicamos todos os termos da equação por um número qualquer obtemos a mesma reta.
3º caso
O Encontro Impossível
Agora, e se as regras forem contraditórias? Imagine tentar encontrar dois números cuja soma seja 5 E 10 ao mesmo tempo.
Isso desafia a lógica, e o gráfico no GeoGebra mostrará exatamente por que isso não funciona.
Atividade 2:
1º No GeoGebra, limpe o gráfico e digite:
2º Tente adicionar esta condição conflitante:
Onde foi parar a segunda reta?
Quantas são as soluções para este sistema?
Retas Paralelas
Sistemas Impossíveis (SI)
As retas correm lado a lado, mas nunca se tocam. Como não há ponto de interseção, o problema não tem solução.
Dica de Investigação:
Tente usar a ferramenta "Interseção" do GeoGebra nestas retas. O que o software te diz?
Vamos analisar outro caso:
Construa o seguinte sistema no aplet abaixo.
Esse sistema também cria retas paralelas. Como saber sem usar o geogebra:
Note que o lado esquerdo da segunda equação () é exatamente o dobro do lado esquerdo da primeira. Portanto, para manter a igualdade (o sistema ser possível e indeterminado), o resultado correto deveria ser . Como o sistema afirma que esse mesmo dobro vale 4, chegamos a uma contradição matemática (). Por isso, esse sistema não tem solução e é classificado como impossível.
Resolva o sistema anterior no seu caderno (como já aprendemos em sala) e veja o que acontece.
Você chegou a uma resposta? O resultado que você encontrou é verdadeiro ou falso?
Desafio Final Crie seu próprio sistema impossível agora mesmo! Como você explicaria para um colega por que ele não tem solução?
