ODOGRAFO DI HAMILTON

Argomento:
Coniche

Sull'odografo di Hamilton (1)

L'odografo di Hamilton è una conica che rappresenta un diagramma delle velocità di un corpo in moto sotto l'effetto di una forza centrale. Tra questa curva delle velocità e la traiettoria del corpo esiste una semplice relazione geometrica: l'odografo e la traiettoria sono curve polari reciproche rispetto a una circonferenza e, se la forza centrale è inversamente proporzionale al quadrato della distanza il centro di questa circonferenza è il fuoco della conica.
Nella prima figura la circonferenza (in blu) è centrata nell'origine degli assi ed a equazione  quindi scegliendo il valore del parametro nell'intervallo assegnato si può cambiare il suo raggio.\\ Il parametro è l'ascissa del centro della circonferenza odografo  e il parametro è il suo raggio. L'odografo è disegnato usando delle equazioni parametriche con il parametro . Variando questo parametro si cambia il punto sull'odometro (cerchiato in verde) e si traccia la tangente per quel punto (la retta fucsia). In nero è rappresentato il polo di tale retta (le cui coordinate sono determinate analiticamente come indicato nel file pdf allegato), che traccia la curva traiettoria. Il cerchietto fucsia attorno al punto in nero traccia lo stesso punto costruito usando la funzione "Polare(retta, conica)" diGeoGebra.

odografo_geogebra

Nella seconda figura la traiettoria è una conica di eccentricità e seminato retto con un fuoco nell'origine, quindi di equazione . L'odografo è la sua polare reciproca rispetto alla circonferenza in blu che il centro nel fuoco della conica (centro delle coordinate) e raggio. Variando il parametro varia il punto sulla conica e la tangente per tale punto. Il polo di questa retta tangente è il punto sull'odometro, indicato con . L'odometro è una circonferenza con centro nel punto di coordinate Il vettore rappresenta la velocità del punto sulla traiettoria, ruotato però di 90°.