Skalarprodukt zwischen Vektoren
Skalarprodukt und s-Multiplikation
Bisher haben wir die Multiplikation eines Vektors mit eienr reellen Zahl betrachtet. Man nennt dies auch "s-Multiplikation". Das kleine s steht für die reelle Zahl (den Skalar).
Bei der s-Multiplikation handelt es sich um ein Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl, dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist: Ein Vektor und eine reelle Zahl werden durch die s-Multiplikation auf einen Vektor abgebildet.
Beim Skalarprodukt handelt es sich um eine neue Form des Produktes: Dem Produkt zweier Vektoren.
Konstruktion des Skalarprodukts
Das Skalarprokukt ist als Abbildung zweier Vektoren auf eine reelle Zahl konstruiert. Bei der Konstruktion dieses neuen Produktes spielt Rechtwinkligkeit (Orthogonalität) die zentrale Rolle. Dieses neue Produkt ist so festgelegt, dass das Produkt zweier aufeinander senkrecht stehender Vektoren (zweier orthogonaler Vektoren) die Zahl 0 ergibt. Diese Bedingung führt direkt zu folgenden Definition des Skalarprodukts:
Definition des Skalarprodukts
Für zwei Vektoren und gilt im dreidimensionalen Anschauungsraum:
Skalarprodukt und Orthogonalität
Als direkte Folge der Definition des Skalarprodukts ergibt sich:
Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal (stehen genau dann senkrecht aufeinander), wenn gilt:
