wat zijn Johnson lichamen?

nog een categorie veelvlakken
Een Johnson lichaam is een strikt convex veelvlak, waarvan elk zijvlak een regelmatige veelhoek is, en dat geen regelmatig veelvlak (platonisch lichaam), archimedisch lichaam, prisma of antiprisma is. Elk zijvlak hoeft niet uit eenzelfde type veelhoek bestaan en evenmin moeten de hoekpunten congruent zijn. [br][br]Zoals in elk strikt convex lichaam, komen in elk hoekpunt ten minste drie zijvlakken bij elkaar en is het totaal van hun hoeken minder dan 360 graden. Aangezien een regelmatige veelhoek hoeken heeft van ten minste 60 graden, kunnen in elk hoekpunt ten hoogste vijf zijvlakken bij elkaar komen. [br][br]Omdat het uit regelmatige veelhoeken bestaat en die veelhoeken aan elkaar grenzen, zijn ook alle ribben van een Johnson lichaam even lang. In de praktijk blijkt dat de zijvlakken van Johnson-lichamen altijd 3, 4, 5, 6, 8 of 10 zijden hebben.[br][br]In 1966 publiceerde Norman Johnson een lijst met 92 lichamen en gaf deze hun namen en nummers. Drie jaar later werd ook effectief bewezen dat er precies 92 lichamen te bedenken zijn die aan de voorwaarden voldoen.
spelen met gekende vormen
Sommige Johnson lichamen hebben heen andere vormen dan de Platonische of de Archimedische lichamen. In andere herken je heel duidelijk Platonische lichamen, Archimedische lichamen, prisma's of anti-prisma's. Maar Johnson doet er telkens net iets extra mee, zodat hij er een nieuwe categorie moest voor uitvinden.
Een vijfhoekige koepel heeft een vijfhoekig bovenvlak en een tienhoekig grondvlak. De zijvlakken zijn 5 vierkanten en 5 gelijkzijdige driehoeken, die elkaar afwisselen.
Plaats je een vijfhoekige koepel op het bovenvlak van een 10-hoekig regelmatig prisma, dan krijg je een nieuw lichaam uit de reeks: een 'verlengde vijfhoekige koepel'. En uiteraard kan je tegen het grondvlak van het prisma nog eens een vijfhoekige koepel plaatsen. Dat wordt dan een 'verlengde vijfhoekige dubbelkoepel'. Of je kunt de koepel op een anti-prisma plaatsen i.p.v. op een prisma. Zo merk je dat je vanuit één basislichaam snel verschillende andere Johnson lichamen kunt afleiden... tot je aan 92 komt.

J1 - J2 vierhoekige en vijfhoekige piramide

Piramiden
Een gelijkzijdig driehoekige piramide is een Platonisch lichaam: de tetraëder. De vierhoekige en vijfhoekige gelijkzijdige piramides horen tot de Johnson lichamen
Eigenschappen van een vierhoekige piramide
[table][tr][td]vlakken[/td][td]4 driehoeken, 1 vierkant[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]8[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]5[/td][/tr][/table]Op een vierkant grondvlak staan 4 gelijkzijdige driehoeken die elkaar raken in een top.
Eigenschappen van een vijfhoekige piramide
[table][tr][td]vlakken[/td][td]5 driehoeken, 1 vijfhoek[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]10[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]6[/td][/tr][/table]Op een vijfhoekig grondvlak staan 5 gelijkzijdige driehoeken die elkaar raken in een top.

transformaties van piramiden

verlengde piramide
Plaats je een piramide op een prisma, dan krijg je een [b]verlengde piramide[/b].
verlengde gedraaide piramide
Plaats je een piramide op een antiprisma, dan krijg je een [b]verlengde gedraaide piramide[/b].
bipiramide
Plaats je twee piramiden met hun grondvlak tegen elkaar, dan krijg je een [b]bipiramide[/b].
verlengde bipiramide
Plaats je tussen de twee piramiden van een bipiramide en prisma, dan krijg je een [b]verlengde bipiramide[/b].
verlengde gedraaide bipiramide
Plaats je tussen de twee piramiden van een bipiramide een antiprisma, dan krijg je een [b]verlengde gedraaide bipiramide[/b].

transformaties van koepels en rotonden

verlengde koepel
Plaats je een koepel op een prisma, dan krijg je een [b]verlengde koepel[/b].
verlengde gedraaide koepel
Plaats je een koepel op een antiprisma, dan krijg je een [b]verlengde gedraaide koepel[/b].
dubbelkoepel
Plaats je twee koepels met hun grondvlak tegen elkaar, dan krijg je een [b]dubbelkoepel[/b].
gedraaide dubbelkoepel
Plaats je twee koepels met hun grondvlak tegen elkaar, maar gedraaid ten opzichte van elkaar, dan krijg je een [b]gedraaide dubbelkoepel[/b].

verlengde dubbelkoepels en -rotonden

verlengde dubbelkoepel
Plaats je zowel op het grondvlak als het bovenvlak van een prisma een koepel, dan krijg je een verlengde dubbelkoepel.
verlengde gedraaide dubbelkoepel
Plaats je zowel op het grondvlak als het bovenvlak van een prisma een koepel en draai je vervolgens de koepels ten opzichte van elkaar, dan krijg je een verlengde gedraaide dubbelkoepel.
Plaats je zowel op het grondvlak als het bovenvlak van een antiprisma een koepel, dan krijg je een verlengde dubbelgedraaide dubbelkoepel.

J49 verhoogd driehoekig prisma

Plaats je een vierkante piramide met zijn grondvlak op een van de vierkante zijvlakken van een driehoekig prisma, dan krijg je een verhoogd driehoekig prisma.
Eigenschappen
[table][tr][td]vlakken[/td][td]6 driehoeken, 2 vierkanten[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]13[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]7[/td][/tr][/table]

J58 verhoogde dodecaëder

Plaats je een vijfhoekige piramide op een van de zijvlakken van een dodecaëder (regelmatig twaalfvlak), dan krijg je een verhoogde dodecaëder.
Eigenschappen
[table][tr][td]vlakken[/td][td]5 driehoeken, 11 vijfhoeken[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]35[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]21[/td][/tr][/table]

J65 verhoogde afgeknotte tetraëder

Snij je van een tetraëder (regelmatige driehoekige piramide) de vier topjes af, dan krijg je een afgeknotte tetraëderJe krijgt een verhoogde afgeknotte tetraëder, met 4 zeshoekige zijvlakken en 4 driehoekige zijvlakken. Je krijgt een verhoogde afgeknotte tetraëder door een driehoekige koepel op een van de zeshoekige zijvlakken te plaatsen.
Eigenschappen
[table][tr][td]vlakken[/td][td]8 driehoeken, 3 vierkanten, 3 zeshoeken[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]27[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]15[/td][/tr][/table]

J84 siamese dodecaëder

Je krijgt een siamese dodecaëder door bij een vierkant antiprisma het vierkante grond- en bovenvlak te vervangen door gelijkzijdige driehoeken.
Eigenschappen
[table][tr][td]vlakken[/td][td]12 driehoeken[/td][/tr][tr][td]ribben[/td][td]18[/td][/tr][tr][td]hoekpunten[/td][td]8[/td][/tr][/table]

Information