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Dualität

Auteur :Walter Füchte
Bei einer elliptischen oder hyperbolischen Zerlegung mit zugehöriger Spiegelung können wir die Geraden(-vektoren) aus "Geraden", und die Geraden aus "Punkte" nennen. Letztere bezeichnen wir vorübergehend mit . und sind duale Räume und die Beziehungen zwischen den Objekten sind geometrisch und rechnerisch einfach zu beschreiben:
  • Der Punkt liegt auf der Geraden genau dann, wenn gilt.
  • gilt genau dann, wenn die Gerade durch den Punkt geht.
  • Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Punkt .
  • Die Verbindungesgerade zweier Punkte ist die Gerade .
  • Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade
  • Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
  • ist der Pol von . ist die Polare von .
  • Zwei Geraden sind orthogonal g.d.w. g.d.w. durch den Pol von geht g.d.w. der Pol von auf liegt.
  • Zwei Punkte sind "orthogonal" g.d.w.
Im obigen Applet werden die Beziehungen exemplarisch für den hyperbolischen Fall veranschaulicht. Im elliptischen Falle sind die Beziehungen wegen der Unsichtbarkeit des absoluten Kreises weniger direkt erkennbar. Längen und Winkel messen: Um Abstände von Punkten bzw. Winkel zwischen sich schneidenden Geraden in projektiven Räumen messen zu können, sind Skalierungen für Punkte auf einer Geraden, bzw. für sich schneidende Geraden nötig. Wir verstehen darunter eine reellwertige Funktion , die etwa für 3 Punkte einer Geraden die Eigenschaft besitzt. Dazu dienen Doppelverhältnisse mit 2 ausgezeichneten Punkten auf der Geraden, bzw. 2 ausgezeichnete Geraden für die Geraden eines Büschels: Exemplarisch: Es gilt für 3 Punkte einer Geraden, auf der 2 Punkte ausgezeichnet sind
  • .
Die Funktion besitzt damit die oben angeforderte Linearitäts-Eigenschaft. Die Längen- und Winkelmessung im hyperbolischen oder elliptischen Falle soll im Folgenden nur angedeutet werden. Es gelingt dies aber auf eine einheitliche Weise! Es sei ein zweidimensionaler komplexer Unterraum von , auf welchem die quadratische Form nicht ausgeartet ist, d.h. für welchen die Diskriminante ungleich 0 ist. Dann existieren zwei verschiedene isotrope Vektoren mit . Wir definieren . Das Doppelverhältnis ist zunächst komplex. Sind jedoch sich schneidende Geraden, so ist die Diskriminante reell; je nach dem Vorzeichen von ist reell bzw. rein imaginär. Im ersten Falle wird ein Abstand, im 2.ten ein Winkel gemessen. Siehe auch 4.9 und 4.10. Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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