円の外接三角形の極線の証明
- 作成者:
- Bunryu Kamimura
円に外接する三角形の極線は、極Ｎに対する円の極線である
証明
円に外接する三角形の頂点と接点を結んだ線はチェバの定理により一点Ｎに会する。
赤線は極Ｎに関する円の極線。
これと△ＥＦＧの極線が一致することを示す。
この作図では、外接三角形は二つできて、ＦＩＤＱは一直線上に並ぶ。
極Ｑの極線はＨＪで、極Ｆの極線はＢＣ。
したがって、その交点Ｍの極線はＦＱになる。
（円に外接する四角形の対角線は一点に会するから）
ＨＪとＢＣの交点がＦＱの極だから、これはＭと一致する。
よって、Ｎを極とする円の極線と△ＥＦＧの極線は一致する。
ただ、これの逆を考えて、極線上の点を極とする極線を考えると、
円の場合はＮを通る直線になり、
三角形ＥＦＧの場合はこの円の接線になる。
逆に三角形から極線を作図した場合、
下の図のようになり、内接する二次曲線の極線と同じになる。