Vertiefen: Exponentialgleichungen 1 Lösung
Aufgabe 1:
Die Halbwertszeit einer Radioaktiven Substanz gibt die Dauer an, nach der die Hälfte dieser Substanz zerfallen ist. Die Menge einer radioaktiven Probe wird durch beschrieben. Es wird die Rechnung aufgestellt.
a) Beschreibe die Funktionsgleichung im Sachkontext. Tipp 1
Der Anfangsbestand (100) gibt die Menge der radioaktiven Substanz zu Beginn ist. Da keine Einheit gegeben ist, könnten es z.B. 100g oder 100kg sein. Das x gibt an, wie oft diese Menge halbiert wurde, also wie viele Halbwertszeiten vergangen sind. f(x) ist damit die Menge der Substanz nach x Halbwertszeiten.
b) Erkläre, was mit dieser Rechnung ausgerechnet wird.
f(3) gibt die Menge der Substanz nach 3 Halbwertszeiten an. Nach 3 Halbwertszeiten sind noch 12.5(kg) der Substanz übrig.
Aufgabe 2:
Wegen der hohen Halbwertszeit vieler Atome werden Endlager gesucht, welche für sehr lange Zeit radioaktives Material sicher halten können.
a) In einem Endlager werden 400kg radioaktives Uran gelagert. Nach wie vielen Halbwertszeiten ist nur noch 1kg übrig? Stelle zunächst eine Funktionsgleichung auf, welche diesen Zusammenhang beschreibt. Tipp 1 Tipp 2
Funktionsgleichung: . f(x) gibt Die Menge des Urans nach x Halbwertszeiten an.
Gesucht: Nach wie vielen Halbwertszeiten x ist f(x)=1?
(umstellen)
(Logarithmus anwenden)
(Eigenschaft des Logarithmus benutzen)
(Umstellen und ausrechnen)
Also ist nach etwa 8,64 Halbwertszeiten nur noch 1kg übrig.
b) Die Halbwertszeit von Uran beträgt etwa 250000 Jahre. Nach wie vielen Jahren ist nur noch 1kg von den ursprünglichen 400kg übrig?
8,64 Halbwertszeiten entspricht Jahren, also etwa 2 Millionen Jahren.
Aufgabe 3:
Aliens finden auf der Erde in 200000 Jahren ein Endlager für Plutonium. Damit die Strahlung für diese Aliens ungefährlich ist, dürfen höchstens etwa 10g Plutonium übrig sein. Die Halbwertszeit von radioaktivem Plutonium beträgt etwa 2400 Jahre.
a) Wie viel Plutonium darf dann heute im Endlager vorhanden sein? Tipp1 Tipp 2
Gesucht: Menge des Plutonium heute, also der Anfangsbestand.
Vorläufige Funktionsgleichung:
Anzahl der Halbwertszeiten: 2 Millionen Jahre / 2400 Jahre
Bedingung aus der Aufgabe:
(einsetzen)
(umstellen und ausrechnen)
es dürften also Tonnen Plutonium eingelagert werden. (von Gramm in Tonnen umgerechnet)
b) Wie viel Plutonium darf heute im Endlager vorhanden sein, wenn die Aliens bereits nach 20000 Jahren auftauchen?
Gleiche Rechnung, nur neue Anzahl an Halbwertszeiten: 20000Jahre/2400Jahre 8,3
Damit ergibt sich:
Es dürfen also gerade mal 3,2kg Plutonium gelagert werden.
Aufgabe 4:
Kohlenstoff-14 ist ein radioaktives Kohlenstoff-Isotop. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 ist 5370 Jahre.
a) Um welchen Faktor hat sich eine Kohlenstoff-14 Quelle nach einer halben Halbwertszeit (also 2680 Jahren) reduziert? Tipp 1 Tipp 2
für die volle Halbwertszeit ergibt sich ein Wachstumsfaktor von 0,5. Bei einer halben Halbwertszeit muss der Wachstumsfaktor so gewählt werden, dass 2 Wachstumsfaktoren wieder 0,5 ergeben, damit:
(umgestellt)
Ein negativer Wachstumsfaktor ist nicht erlaubt, damit ergibt sich der neue Wachstumsfaktor zu . In jeder halben Halbwertszeit zerfallen also etwa 29% der Isotope.
b) Um welchen Faktor reduziert sich eine solche Quelle nach einem Jahr?
Gleiche Rechnung wie oben, es muss aber gelten: , da nach 2680 Jahren eine Halbwertszeit verstrichen ist.
Jedes Jahr zerfallen also weniger als 0,1% der Atomkerne.