Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Die Grundidee
Im Applet unten ist eine Funktion dargestellt, über die Schieberegler können die Integrationsgrenzen verschoben werden. Der orientierte Fächeninhalt A1 zwischen a und x0 ist durch die Integralfunktion Ja(x) gegeben (berechnet durch die Rechteckstreifen für , "Riemann Türmchen").
Wie steht es nun um die Änderungsrate dieser Integralfunktion? Wie ändert sich die Fläche, wenn die obere Grenze leicht variiert? Das ist die Beweisidee für den Hauptsatz.
Zur braunen Fläche A1 kommt nun eine weitere, grün dargestellte Fläche A2, Gesamtfläche ist A1+A2. Nun im Detail:
Die Änderungsrate der Integralfunktion
Die Zusatzfläche
Stellen Sie sich nun vor, dass eine zusätzliche Fläche bis beispielsweise x0=3 hinzukommt. Wie könnte man diese zusätzliche Fläche nach oben bzw. nach unten Abschätzen?
Der Rechenweg des Beweises
Man kann nun mit den beiden Schätzflächen (kleines und großes Rechteck) eine Ungleichung aufstellen. Die genaue Zusatzfläche liegt zwischen diesen beiden Werten. Läßt man nun h gegen 0 gehen, dann erhällt man die Änderungsrate der Fläche wenn man diese durch das hinzugekommene h (sprich Delta...) dividiert.
Man stellt dann folgendes fest:
Die Änderungsrate der Flächeninhaltsfunktion ist die Funktion, die die Fläche begrenzt!
Die direkte Folgerung
Was bedeutet das oben formulierte Ergebnis im Umkehrschluß?
Die offene Frage
Die Fläche unter der Kurve hat einen eindeutigen Wert. Wie steht es aber um die Stammfunktion. Ist die Stammfunktion einer Funktion eindeutig gegeben? Gibt es nu eine Stammfunktion?