Cicloide y trocoide
En Matemáticas se da el nombre de cicloide a la curva descrita por un punto de una circunferencia, llamada circunferencia generatriz, cuando ésta rueda sobre una recta sin resbalar. Es la curva que trazaría un punto dibujado en el borde de una rueda de bicicleta cuando se estuviera moviendo.
La construcción te permite trazar una cicloide o una trocoide determinando antes el radio de la circunferencia generatriz y la posición del punto que dibuja la curva.
Hay una breve explicación del funcionamiento general de las construcciones aquí. Puedes consultarla si lo necesitas.
Descripción
Si la cicloide se genera mediante una circunferencia de radio r que se apoya sobre el eje de abscisas y que empieza a girar desde el origen, su descripción en forma paramétrica viene dada por:
- x = r [ t - sen(t) ]
- y = r [ 1 - cos(t) ]
Cicloide y Trocoide
El punto que dibuja la curva, al que vamos a llamar P, puede estar justo sobre la circunferencia o dentro o fuera de ella. Si llamamos q a la distancia entre P y el centro de la circunferencia generatriz, la cicloide se denomina de distinta forma según sea esta distancia:
- Cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (q=r).
- Cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (q<r).
- Cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (q>r).
- x = rt – q sen(t)
- y = r – q cos(t)
Otras curvas de la misma familia
Hay toda una familia de curvas relacionadas con la cicloide, que reciben el nombre general de ruletas:
- Cicloide acortada (curtata): el punto que traza la curva está dentro de la circunferencia, que rueda sobre una línea recta.
- Cicloide alargada (prolata): el punto que traza la curva está fuera de la circunferencia, que rueda sobre una línea recta.
- Trocoide: sirve para referirse a cualquiera de las dos anteriores.
- Hipocicloide: el punto está en el borde de la circunferencia, que no rueda sobre una recta, sino sobre el interior de otra circunferencia.
- Epicicloide: el punto está en el borde de la circunferencia, que rueda sobre una recta, sino sobre el exterior de otra circunferencia.
- Hipotrocoide: como la hipocicloide, pero el punto está dentro o fuera de la circunferencia generatriz.
- Epitrocoide: como la epicicloide, pero el punto está dentro o fuera de la circunferencia generatriz.
FUNCIONAMIENTO de esta construcción
 | Haz clic en los botones superiores para alternar entre cicloide y trocoide. |
| | En la zona de gráficos se muestra:
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 | Arrastra el centro de la circunferencia para aumentar o disminuir la porción visible de la curva seleccionada. |
 | Usa los deslizadores para cambiar el radio de la circunferencia y la distancia del punto al centro de la misma. |
 | El botón Reiniciar devolverá la zona de gráficos a su configuración inicial. |
Para investigar o buscar
Desde mediados de la década de 1960 hasta bien entrada la década de 1980 fue muy popular un juguete con el que se dibujaban patrones geométricos basados en estas curvas de forma fácil, totalmente a mano y con resultados espectaculares. Su éxito fue tal que en la década de 2010 se relanzó a nivel mundial.
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