Krümmung von Funktionen
- Autor:
- Silke Friedrich, jangriese
Probiere die folgende Anwendung aus. Versuche für dich selbst zu beschreiben:
Was ist die Krümmung einer Funktion?
Was versteht man unter einer Linkskrümmung, was unter einer Rechtskrümmung?
Beschreibe kurz, was du unter Krümmung verstehst und wann die Funktion deiner Meinung nach linksgekrümmt bzw. rechtsgekrümmt ist.
Erklärung Krümmung
Ähnlich wie bei der Steigung hat jeder Punkt auf einer Funktion eine Krümmung. Die Krümmung endert sich in der Regel, wenn man den Grafen entlangfährt, so dass sich für unterschiedliche Stellen ein und der selben Funktion unterschiedliche Steigungen ergeben.
Stärke der Krümmung:
Wie stark die Krümmung an einer Stelle der Funktion ist, hängt von dem Krümmungskreis ab.
Der Krümmungskreis kann für jede Stelle einer Funktion bestimmt werden und hat die gleiche Krümmung wie die Funktion an dieser Stelle. Da sich die Krümmung der Funktion von Stelle zu Stelle ändert, ändert sich auch der Krümmungskreis.
Ein großer Kreis bedeutet dabei eine schwache oder kleine Krümmung und ein kleiner Kreis bedeutet eine starke oder große Krümmung. Findest du die schwächsten und stärksten Krümmungen in den Anwendungen von oben?
Art der Krümmung:
Eine Stelle (oder auch ein Abschnitt) einer Funktion kann linksgekrümmt, rechtsgekrümmt oder gar nich gekrümmt sein. Bei keiner Krümmung, wird aus dem Krümmungskreis eine Gerade.
Wenn man den Grafen einer Funktion von links nach rechts abfährt und der Graf dabei eine Linkskurve macht, dann ist die Funktion an dieser Stelle linksgekrümmt. Bei einer Rechtskurve ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Beim Parabelflug fühlt man sich in Linkskurven schwerer als normal und in Rechtskurven leichter (bis hin zu keinem Gewicht) als normal.
Aufgabe1: Zeichne die nächsten drei Grafen (unter diesem Text) grob ab. Markiere die Abschnitte in grün, in denen sich ein Flugzeug-Passagier schwerer als normal fühlt (Linkskurve) und die Abschnitte, in denen er sich leichter (oder schwerelos) fühlt (Rechtskurven) in blau.
(Tipp: du kannst an dem Schieberegler die Stelle auf dem Grafen einstellen)
Die gerade Stelle (ohne Krümmung), an der die Funktion zwischen einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung (oder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung) wechselt, nennt man Wendepunkt.
Wendepunkte heißen also alle Punkte einer Funktion, nach denen die Funktion eine andere Krümmungsart hat als vor dem Wendepunkt. Die Funktion wendet ihre Richtung.
Aufgabe 2: Findest die Wendepunkte in den nächsten drei Anwendungen und markiere die Punkte auf deinen Skizzen.
Krümmung und die zweite Ableitung
Die Krümmung hängt eng mit der zweiten Ableitung zusammen.
In der nächsten Anwendung siehst du in grün eine Funktion f(x) und in blau die zweite Ableitung f´´(x).
Der Funktionswert von f´´(x) wird dir angezeigt.
Welche Werte hat f´´(x), wenn f(x) linksgekrümmt ist, welche Werte hat f´´(x), wenn f(x) rechtsgekrümmt ist?
Findest du einen Zusammenhang?
Du kannst auch f(x) verändern (vielleicht musst du dann etwas rauszoomen oder das Koordinatensystem verschieben)
Merkhilfe:
Ein lachender Smiley =) steht für eine positive zweite Ableitung - sein Mund ist linksgekrümmt.
Ein weinender Smiley =( steht für eine negative zweite Ableitung - sein Mund ist rechtsgekrümmt.