Dilatazione temporale e contrazione spaziale
Introduzione
In questa sezione discuteremo un Gedankenexperiment (esperimento pensato) che ci permetterà di derivare altre due importanti conseguenze dei postulati della Relatività Ristretta: la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.
A questo scopo introduciamo il concetto di orologio a luce.
Orologio a luce
Un orologio a luce è un dispositivo ideale che permette di misurare il tempo. Esso è costituito da
- una sorgente di impulsi luminosi;
- uno specchio piano situato davanti alla sorgente a distanza ;
- un rilevatore di impulsi luminosi posto in corrispondenza della sorgente;
- un impulso luminoso viene emesso dalla sorgente;
- l'impulso viaggia verso lo specchio, ne viene riflesso e torna indietro;
- il rilevatore rileva l'impulso e contemporaneamente incrementa la variabile temporale di un'unità e induce l'emissione di un nuovo impulso.
Nella costruzione interattiva qui sopra è possibile visualizzare un secondo orologio a luce identico al primo eccetto per la direzione di propagazione dell'impulso luminoso. Le due direzioni di propagazione sono perpendicolari.
Il secondo orologio è sincronizzato con il primo: gli impulsi vengono emessi praticamente nello stesso punto allo stesso tempo e. Visto che i due orologi sono identici, i rispettivi impulsi verranno rilevati simultaneamente.
Gedankenexperiment
L'esperimento pensato può essere schematizzato come segue: un osservatore che si trova su una stazione spaziale
- dispone di un orologio a luce che è in quiete nel suo sistema di riferimento, e indica il tempo misurato da tale orologio con il simbolo ;
- immagina che un'astronave si muova a velocità perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell'impulso del proprio orologio a luce;
- immagina che sull'astronave sia presente un orologio identico al proprio, il cui impulso luminoso si muove parallelamente a quello del proprio orologio;
- assume che i due orologi siano sincronizzati quando il proprio orologio segna ;
- si chiede quale sia il tempo segnato dall'orologio sull'astronave quando il proprio orologio segna il tempo .
Questo risultato si applica sia all'orologio sulla stazione spaziale, per l'osservatore iniziale, sia per all'orologio sull'astronave, per un passeggero dell'astronave stessa. Orologio in movimento L'osservatore sulla stazione spaziale ripete poi il calcolo per un orologio in movimento in direzione perpendicolare a quella individuata dalle posizione della sorgente e dello specchio del proprio orologio. Anche in questo caso il tempo ricercato è la somma di due contributi. Il primo è il tempo necessario all'impulso per passare dal punto in cui si trova la sorgente al tempo dell'emissione al punto in cui esso colpisce lo specchio. Poiché l'orologio é in movimento, tale punto non coincide con il punto in cui si trovava lo specchio al momento dell'emissione dell'impulso. Poiché , e poiché la luce si propaga a velocità indipendentemente dalla velocità della sorgente, . Il secondo contributo è il tempo necessario all'impulso per passare dal punto in cui viene riflesso dallo specchio al punto in cui viene rilevato dal rilevatore. Ancora una volta, poiché l'orologio é in movimento, tale punto non coincide con il punto in cui il rivelatore si trovava al momento della riflessione dell'impulso da parte dello specchio. Poiché , e poiché la luce si propaga a velocità , . In conclusione .Per calcolare i valori esatti dei due tempi basta osservare che il tragitto percorso dalla luce nel primo intervallo di tempo, , non è altro che l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cui e sono i due cateti. Dalla relazione pitagorica si ricava facilmente che
Procedendo allo stesso modo per il secondo tempo, si ottiene esattamente lo stesso risultato, , per cui il tempo totale è
Dove si è tenuto conto che coincide con il tempo impiegato dall'impulso per arrivare al rivelatore in un orologio in quiete rispetto all'osservatore. La seguente costruzione interattiva permette di visualizzare dinamicamente quanto concluso, per diversi valori della velocità dell'astronave. Sbarrando la casella "traiettoria" è possibile visualizzare il percorso dell'impulso luminoso dell'orologio a bordo dell'astronave nel sistema di riferimento in cui questa è in movimento. Si osservi che, indipendentemente dalla velocità dell'astronave, l'orologio sull'astronave e quello sulla stazione spaziale sono sincronizzati nell'istante in cui essi si sovrappongono.Interpretazione
Alcune precisazioni:
- non è corretto affermare che l'osservatore sulla stazione spaziale vede (o guarda) l'orologio a luce sull'astronave;
- in realtà tale osservatore immagina ciò che succede e calcola il tempo che il suo orologio misura per un "ticchettio" dell'orologio sull'astronave in movimento a velocità . Il tempo risulta dilatato rispetto al tempo necessario per un "ticchettio" di un orologio a luce in quiete rispetto all'osservatore.
- il fattore di dilatazione, che dipende dalla velocità , viene detto fattore di Lorentz e indicato con la lettera . Si può quindi scrivere dove
Tempo proprio e tempo coordinato
Nella teoria della Relatività il tempo associato ad un certo sistema di riferimento, ovvero quello misurato da un orologio in quiete rispetto a tale sistema di riferimento, viene detto tempo coordinato.
Se si considerano due sistemi di riferimento in moto relativo, ciascuno di essi avrà il proprio tempo coordinato e, come visto nell'esperimento pensato illustrato in precedenza, tali tempi non necessariamente coincidono.
Se in un certo sistema di riferimento due eventi avvengono nel medesimo punto, l'intervallo di tempo tra i due eventi viene detto proprio.
In un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in due punti distinti dello spazio, il corrispondente intervallo di tempo risulta dilatato rispetto all'intervallo di tempo proprio.
Nell'esempio pensato analizzato sopra, i due eventi sono l'emissione dell'impulso luminoso da parte dell'orologio sull'astronave e la sua successiva rivelazione. Questi due eventi avvengono nello stesso punto in un sistema di riferimento solidale con l'astronave. Quindi l'intervallo di tempo proprio tra i due eventi è quello misurato in tale sistema di riferimento, ovvero quello che abbiamo indicato con .
In ogni sistema di riferimento in cui l'astronave si muove, gli stessi due eventi avvengono in due punti distinti. L'intervallo tra i due eventi misurato in tale sistema di riferimento sarà dilatato rispetto a : si avrà , dove .
Assenza di un sistema di riferimento privilegiato
Occorre fare attenzione ad alcuni aspetti.
Non è corretto ritenere che il sistema di riferimento della stazione spaziale sia fermo e quello dell'astronave sia in movimento. In realtà i due sistemi di riferimento sono in moto relativo l'uno rispetto all'altro.
Per un passeggero dell'astronave, è il sistema di riferimento della stazione spaziale ad essere in movimento. Tale passeggero può compiere esattamente lo stesso ragionamento fatto dall'osservatore sulla stazione spaziale. Egli concluderà che un ticchettio dell'orologio sulla stazione spaziale impiega un tempo maggiore di quello impiegato dal proprio orologio.
Questo non deve confondere. I due osservatori si stanno concentrando su eventi differenti. L'osservatore sulla stazione spaziale si chiede quanto dura un ticchettio dell'orologio sull'astronave. Il passeggero sull'astronave si chiede quanto dura un ticchettio dell'orologio sulla stazione spaziale. Entrambi concludono che tale durata è maggiore di quella di un ticchettio del proprio orologio. Questo perché in entrambi i casi gli eventi non avvengono nello stesso punto, e quindi l'orologio in quiete con l'osservatore non misura l'intervallo proprio tra tali eventi.
Va comunque precisato che l'intervallo di tempo proprio tra due eventi non ha un carattere privilegiato. Tutte le misure dell'intervallo di tempo tra i due eventi sono egualmente valide. L'intervallo proprio ha la caratteristica di avere il minore valore possibile.
Impulso luminoso nella direzione del moto
Fino ad ora abbiamo esaminato il caso in cui la direzione individuata dalle posizioni istantanee della sorgente e dello specchio dell'orologio in movimento è perpendicolare alla velocità.
Ci si può chiedere che cosa succede per un orologio il cui impulso luminoso viaggia parallelamente alla velocità.
Anche in questo caso il tempo richiesto per un ticchettio è la somma dei due tempi impiegati dall'impulso per raggiungere lo specchio e per tornare dallo specchio alla sorgente.
Questa volta però questi due contributi sono differenti.
Nel primo caso lo specchio si sta allontanando dal punto in cui viene emesso l'impulso luminoso.
Per raggiungerlo quest'ultimo deve percorrere una distanza data dalla somma della distanza tra sorgente e specchio e dello spazio percorso dallo specchio nel suo movimento. In altre parole, la distanza percorsa dall'impulso deve coincidere con la somma .
Da questa uguaglianza è facile concludere che
Nel secondo caso il rivelatore si sta avvicinando all'impulso riflesso dallo specchio. L'impulso percorrerà quindi una distanza data dalla differenza . In questo caso dall'uguaglianza si ricava
La somma di questi due contributi è
Questo risultato è differente da quello ottenuto per l'orologio perpendicolare alla direzione di movimento, e ciò rappresenta un problema. Supponiamo infatti che l'orologio sull'astronave sia in realtà formato da due orologi a luce sincronizzati e perpendicolari tra loro. di cui uno orientato nella direzione della velocità , come illustrato nella seguente costruzione dinamica.In questo modo gli eventi di emissione degli impulsi dei due orologi sono simultanei e avvengono nello stesso punto, e lo stesso vale per gli eventi di rivelazione.
Questo deve valere in tutti i sistemi di riferimento, e non solo in quello in cui l'orologio è in quiete.
Le uniche differenza è che per un orologio in moto gli eventi di rivelazione non avverranno nello stesso punto in cui avvengono quelli di emissione. Inoltre l'intervallo di tempo tra gli eventi di emissione e rivelazione potrà variare a seconda della velocità dell'orologio.
L'ultimo calcolo effettuato è però in disaccordo con questa previsione. Supponiamo che l'orologio "composito" sia caricato a bordo di un'astronave che si muove con velocità nella direzione dell'impulso dell'orologio orizzontale. In base a quanto calcolato, il tempo impiegato da un ticchettio è per l'orologio verticale e per l'orologio verticale. Poiché , i due ticchetti non avrebbero la stessa durata, ma si avrebbe .
Un modo per risolvere questa apparente contraddizione consiste nel supporre che il movimento degli oggetti non influenzi solo la misura degli intervalli e del tempo, ma anche quella delle lunghezze nella direzione del moto. Infatti le due previsioni tornano in accordo se si suppone che distanza tra sorgente e specchio nell'orologio orizzontale (cioè quello orientato secondo la direzione del moto) non sia bensì . In questo modo si avrebbe
.
Il problema dell'apparente "desincronizzazione" degli orologi e la soluzione fornita dalla contrazione delle lunghezze nella direzione del moto sono rappresentati in maniera interattiva nella seguente costruzione geogebra.
Dalla costruzione è evidente che gli orologi sull'astronave in movimento perdono la sincronizzazione se le lunghezze nella direzione del moto non sono modificate.
Sbarrando la casella "contrazione", le lunghezze vengono contratte di un fattore , garantendo la sincronia degli orologi in moto.
Si noti che tutti gli impulsi luminosi (rappresentati dai cerchi verde chiaro) si muovono alla medesima velocità, anche se il movimento dell'astronave dà un'impressione differente.
Contrazione delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze discussa qui sopra può anche essere dedotta con un ragionamento differente.
Consideriamo la seguente situazione: due stazioni spaziali sono in quiete una rispetto all'altra e un'astronave passa da una all'altra, viaggiando a velocità rispetto ad esse.
La distanza tra le due stazioni e il tempo impiegato dall'astronave a coprirla possono essere misurati sia da un'osservatore in quiete rispetto alle stazioni, sia da un passeggero dell'astronave, che si trova in quiete rispetto ad essa. Distinguiamo queste misure utilizzando i pedici e .
L'osservatore sulla stazione spaziale misurerà per la distanza e per l'intervallo di tempo.
L'osservatore sull'astronave misurerà per la distanza e per l'intervallo di tempo.
Le misure effettuate dai due osservatori non saranno necessariamente in accordo. Ciò su cui ci sarà sicuramente accordo è invece la misura della velocità relativa tra le stazioni e l'astronave. Dovrà essere
Le misure coinvolte nell'ultima relazione hanno caratteri leggermente differenti, che solitamente vengono ignorati, ma sono essenziali per comprendere i risultati della Relatività Ristretta. Per l'osservatore sulla stazione spaziale è l'intervallo di tempo tra i due eventi "l'astronave passa per la prima stazione" e "l'astronave passa per la seconda stazione". Siccome questi due eventi avvengono in punti differenti, non si tratta di un tempo proprio. Per l'osservatore sull'astronave sono le stazioni a muoversi. Questo significa è l'intervallo di tempo tra i due eventi "la prima stazione passa per la posizione dell'astronave" e "la seconda stazione passa per la posizione dell'astronave". Siccome questi due eventi avvengono nello stesso punto (la posizione dell'astronave) è un intervallo di tempo proprio. Come concluso analizzando il primo esempio sugli orologi a luce, il tempo misurato dall'osservatore sulla stazione spaziale sarà dilatato rispetto al tempo proprio: . Inserendo questa relazione nell'uguaglianza derivata sopra si ricavaIn altre parole, la misura