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Suma de vectores en el espacio

El objetivo de la siguiente actividad es construir la noción algebraica y geométrica de la suma de dos vectores en el espacio.
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Suma algebraica de vectores en el espacio

Algebraicamente el vector suma es la suma de los componentes de cada vector involucrado, coordenada por coordenada, es decir, si y , entonces:



Por ejemplo, si y , entonces:

[size=100]Observa que [b]el resultado de la suma es otro vector[/b], por lo que puede ser nombrado como otro vector completamente nuevo, por ejemplo:
[center] 
[size=100][math]\vec{u}+\vec{v}=\left(1,-2,5\right)\Rightarrow\vec{w}=\left(1,-2,5\right)[/math][/size][/center][/size]
Observa que el resultado de la suma es otro vector, por lo que puede ser nombrado como otro vector completamente nuevo, por ejemplo:

Construcción geométrica de la regla del paralelogramo

Indicaciones. En el siguiente sistema de coordenadas;
  1. Grafica los puntos y .
  2. Grafica sus respectivos vectores de posición y .
  3. Donde termina el vector (en el punto ), copia el vector realizando lo siguiente: con la herramienta Toolbar Image selecciona el punto y luego selecciona el vector .
  4. Ahora, donde termina el vector , copia el vector realizando lo siguiente: con la herramienta Toolbar Image selecciona el punto y luego selecciona el vector ..
  5. Observa que de esta manera se ha formado un paralelogramo.
  6. En la vista algebraica escribe la suma de los vectores y .
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Ley del paralelogramo

Observa que el resultado de la suma es el vector de posición correspondiente a la diagonal del paralelogramo formado. A este método gráfico para sumar vectores se le conoce como la Ley del paralelogramo.

Practica

Si y , determina escribiendo todo tu procedimiento.

Si y , determina escribiendo todo tu procedimiento.

Si y , determina escribiendo todo tu procedimiento.

Comprueba

Comprueba
Comprueba tus resultados de las preguntas anteriores en el siguiente applet.

¿Qué diferencia geométrica hay entre y ?

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¿En qué consiste geométricamente la suma de vectores?

¿En qué consiste algebraicamente la suma de vectores?

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Combinación lineal

Este proceso, geométricamente puede interpretarse como el proceso de moverse en el espacio mediante la suma y producto escalar de vectores. Algebraicamente se define como el resultado de sumar los múltiplos de dos vectores:

donde son los escalares y son los vectores.
[size=100]Observa que a final de cuentas la combinación lineal realmente es una suma de vectores. [/size]
Observa que a final de cuentas la combinación lineal realmente es una suma de vectores.
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Exploración de combinación lineal

Indicaciones. En el siguiente applet se muestra la expresión , a continuación:
  1. Mueve los deslizadores y . Observa cómo mediante la ley del paralelogramo se representa la combinación lineal.
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Si y , ¿cuál es el resultado de la combinación lineal ?

Si y , ¿cuál es el resultado de la combinación lineal ?

Observa la representación geométrica de las combinaciones lineales anteriores y contesta ¿cuál es la relación entre la expresión y su representación gráfica (los lados del paralelogramo)?

Observa la representación geométrica de las combinaciones lineales anteriores y contesta ¿cuál es la relación entre la expresión y su representación gráfica (los lados del paralelogramo)?

Si y , ¿qué relación algebraica observas entre el vector y el vector ?

Si y , ¿qué relación algebraica observas entre el vector y el vector ?

Si y , ¿qué relación algebraica observas entre el vector y el vector ?

Si y , ¿qué relación algebraica observas entre el vector y el vector ?

En el applet anterior:
  1. Cambia el valor de a 1.
  2. Da clic derecho sobre el punto S (el punto morado) y selecciona mostrar rastro.
  3. Da clic derecho sobre el deslizador de y selecciona animación.

Observa un momento el patrón que se forma y contesta. ¿Qué figura se forma?