4 Suma de vectores en el espacio

Autor:DALIA NAYELI BRISENO VALENCIA, Przemysław Kajetanowicz, Álgebra Lineal 2020 (EXACTAS - UNICEN)

El objetivo de la siguiente actividad es construir la noción algebraica y geométrica de la suma de dos vectores en el espacio.

Suma algebraica de vectores en el espacio

Algebraicamente el vector suma es la suma de los componentes de cada vector involucrado, coordenada por coordenada, es decir, si

, entonces:

Por ejemplo, si

, entonces:

[size=100]Observa que [b]el resultado de la suma es otro vector[/b], por lo que puede ser nombrado como otro vector completamente nuevo, por ejemplo:
[center]
[size=100][math]\vec{u}+\vec{v}=\left(1,-2,5\right)\Rightarrow\vec{w}=\left(1,-2,5\right)[/math][/size][/center][/size] — Observa que **el resultado de la suma es otro vector**, por lo que puede ser nombrado como otro vector completamente nuevo, por ejemplo:

Construcción geométrica de la regla del paralelogramo

Indicaciones. En el siguiente sistema de coordenadas;

Grafica los puntos y .
Grafica sus respectivos vectores de posición y .
Donde termina el vector (en el punto ), copia el vector realizando lo siguiente: con la herramienta selecciona el punto y luego selecciona el vector .
Ahora, donde termina el vector , copia el vector realizando lo siguiente: con la herramienta selecciona el punto y luego selecciona el vector ..
Observa que de esta manera se ha formado un paralelogramo.
En la vista algebraica escribe la suma de los vectores y .

Ley del paralelogramo

Observa que el resultado de la suma es el vector de posición correspondiente a la diagonal del paralelogramo formado. A este método gráfico para sumar vectores se le conoce como la Ley del paralelogramo.

Practica

Si y , determina escribiendo todo tu procedimiento.

Comprueba

¿Qué diferencia geométrica hay entre y ?

¿En qué consiste geométricamente la suma de vectores?

¿En qué consiste algebraicamente la suma de vectores?

Combinación lineal

Este proceso, geométricamente puede interpretarse como el proceso de moverse en el espacio mediante la suma y producto escalar de vectores. Algebraicamente se define como el resultado de sumar los múltiplos de dos vectores:

donde

son los escalares y

son los vectores.

[size=100]Observa que a final de cuentas la combinación lineal realmente es una suma de vectores. [/size] — Observa que a final de cuentas la combinación lineal realmente es una suma de vectores.

Exploración de combinación lineal

Indicaciones. En el siguiente applet se muestra la expresión

, a continuación:

Mueve los deslizadores y . Observa cómo mediante la ley del paralelogramo se representa la combinación lineal.

Si y , ¿cuál es el resultado de la combinación lineal ?

Observa la representación geométrica de las combinaciones lineales anteriores y contesta ¿cuál es la relación entre la expresión y su representación gráfica (los lados del paralelogramo)?

Si y , ¿qué relación algebraica observas entre el vector y el vector ?

En el applet anterior:

Cambia el valor de a 1.
Da clic derecho sobre el punto S (el punto morado) y selecciona mostrar rastro.
Da clic derecho sobre el deslizador de y selecciona animación.

Observa un momento el patrón que se forma y contesta. ¿Qué figura se forma?