Billar circular

Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Juegos. En un billar normal, la bola rebota en la banda de forma simétrica respecto a la perpendicular a la banda en el punto de contacto, formando ángulos iguales a ambos lados. Si la banda fuese curva, en vez de recta, el eje de simetría es la perpendicular a la recta tangente a la curva en ese punto. En el caso de un billar circular, esa perpendicular es siempre el radio del círculo. Dicho de otra forma, en todos los rebotes la trayectoria de la bola forma con el radio el mismo ángulo justo antes de tocar la banda que justo después. Ese ángulo es el que ves marcado con su valor. El zig-zag amarillo corresponde a más de cien rebotes de la bola blanca en la banda circular.   Cuando la bola blanca está en su posición inicial de tiro, puedes cambiar el ángulo de tiro moviendo el taco por su extremo oscuro. Para devolver la bola blanca a su posición de tiro, pulsa el botón Parar y lleva el deslizador amarillo a la posición inicial en su tope izquierdo.

1. Mueve el extremo oscuro del taco y observa qué sucede. Mueve también la bola blanca (el taco la seguirá). Haz que aparezcan distintos dibujos sobre la mesa circular. ¿El ángulo marcado se mantiene constante en todos los rebotes, o puede variar según la posición del taco o la bola blanca?

2. ¿Qué pasará si apuntas exactamente al centro de la mesa?

3. ¿Con qué ángulo habrá que dar a la banda para que la bola blanca describa un cuadrado perfecto?

4. ¿Con qué ángulo habrá que dar a la banda para que la bola blanca describa un triángulo perfecto?

5. ¿Con qué ángulo habrá que dar a la banda para que la bola blanca describa un hexágono perfecto?

6. ¿Con qué ángulo habrá que dar a la banda para que la bola blanca describa una estrella de cinco puntas perfecta?

7. En general, ¿cómo debe ser el ángulo para que la bola blanca vuelva a pasar exactamente por su posición inicial después de trazar un polígono regular? ¿Cuántos rebotes necesitará para lograrlo, dependiendo de ese ángulo?

8. Si apuntamos a un punto distinto del centro, el primer tramo (que se ve discontinuo) de la trayectoria marcará sobre el círculo una cuerda. A partir de esa cuerda, ¿puedes definir la zona de la mesa por la que es imposible que pase la bola blanca, por muchos rebotes que dé?

Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss