Eliminación de Gauss - Jordan

Autor:
JLF
Tema:
Álgebra, Ecuaciones, Matrices

Introducción

Los métodos de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan nos permiten obtener las soluciones (en caso de haberlas) de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Ambos métodos se basan en la idea de que las soluciones del SEL que se obtiene al realizar operaciones elementales fila o columna son las mismas que las del SEL original.

Notación

Consideremos un SEL con incógnitas cuya forma matricial es , donde es la matriz formada por los coeficientes de las ecuaciones, es el vector columna formado por todas las incógnitas del SEL () y es la columna de los términos independientes de las ecuaciones. Trabajaremos con la matriz ampliada del SEL, que es la matriz que tiene la matriz a la izquierda y el vector a la derecha, separados por una línea: . Ejemplo El sistema  tiene la matriz ampliada 

El método de Gauss-Jordan

El método consiste en aplicar operaciones elementales fila, es decir, cualquier fila se puede multiplicar por cualquier número (distinto de cero) o se le puede sumar o restar cualquier otra fila multiplicada o no por cualquier número. No se puede restar una fila a ella misma. También puede intercambiarse el orden de las filas (por ejemplo, intercambiar las dos primera filas). El proceso debe aplicarse hasta que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o en forma escalonada reducida (método Gauss-Jordan) de la matriz ampliada. Recordamos que una matriz en su forma escalonada reducida cumple:
  • En cada fila, el primer elemento distinto de cero (de izquierda a derecha) es un 1 (uno principal). A la izquierda de este 1, sólo hay ceros. A su derecha puede haber cualquier número. En la columna del 1 principal de las filas de arriba y las de abajo sólo puede haber ceros (a no ser que sea la primera fila y por encima del 1 no hay ningún elemento).
  • El uno principal de cualquier fila se sitúa más a la izquierda de los unos principales de las filas inferiores a ésta. 
  • Si existen filas formadas únicamente por ceros, éstas son las inferiores.
Ejemplo Vamos a obtener la forma escalonada reducida de la matriz ampliada  Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3  Sumamos a la segunda fila la primera  Multiplicamos la segunda fila por 5/7  Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5  Ahora escribimos el sistema que representa esta última matriz: Es decir, hemos obtenido la solución del sistema.

Sistemas incompatibles o compatibles determinados

Si el sistema es incompatible (no existe solución), al aplicar Gauss-Jordan obtendremos una matriz que tiene en alguna fila el uno principal situado en la columna de los términos independientes. Esto es equivalente a decir que 0=1, que es absurdo. Si el sistema es compatible indeterminado (existen infinitas soluciones), escribiremos las soluciones en función de parámetros.

Ejemplos

Enlace: ejemplos de aplicación del método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados e indeterminados. Foro de Ayuda en Matemáticas

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