Propositie 21
Als vanuit de grenspunten van één zijde van de driehoek twee lijnstukken worden getrokken naar een punt binnen de driehoek, dan zijn die twee lijnstukken samen korter dan de andere twee zijden, maar de hoek ertussen is groter dan de hoek tussen de twee andere zijden.
Inleiding
Propositie 21 combineert twee resultaten in één bewijs: een ongelijkheid over lengtes én een ongelijkheid over hoeken. Euclides gebruikt hier slim de driehoeksongelijkheid van propositie 20 en de buitenhoekstelling van propositie 16
Oude versie
Als op één van de zijden van een driehoek, vanuit haar uiteinden, twee rechte lijnen worden geconstrueerd die elkaar binnen de driehoek ontmoeten, dan zijn die twee rechte lijnen samen kleiner dan de twee overige zijden van de driehoek, maar omvatten ze een grotere hoek.
ABC is een driehoek en op de zijde BC vanuit de uiteinden B en C zijn de twee rechte lijnen BD en DC geconstrueerd die elkaar ontmoeten binnen de driehoek. Ik zeg dat BD en DC samen kleiner zijn dan de twee overige zijden BA en AC, maar dat ze een hoek BDC omvatten die groter is dan de hoek BAC.
Verleng BD tot E. (post 2)
Omdat in elke driehoek twee zijden samen groter zijn dan de derde, zijn in de driehoek ABE de twee zijden AB en AE samen groter dan BE. (prop 20)
Voeg aan elk EC toe. Dus zijn BA en AC samen groter dan BE en EC. (ai 2)
Omdat in de driehoek CED de twee zijden CE en ED samen groter zijn dan CD, voeg aan elk DB toe. Dus zijn CE en EB samen groter dan CD en DB. (prop 20)
Maar BA en AC werden bewezen groter te zijn dan BE en EC. Dus zijn BA en AC veel groter dan BD en DC. (ai 1)
Omdat in elke driehoek de buitenhoek groter is dan de niet-aanliggende binnenhoek, is in de driehoek CDE de buitenhoek BDC groter dan de hoek CED. (prop 16)
Om dezelfde reden is in de driehoek ABE de buitenhoek CEB groter dan de hoek BAC. (prop 16)
Maar de hoek BDC werd bewezen groter te zijn dan de hoek CEB. Dus is de hoek BDC veel groter dan de hoek BAC.