2027. 389.
Egy háromszögben a BC, CA, AB oldalak: 20; 27; 30.
D az AB oldal B-n túli meghosszabbításának pontja, BD = 17.
E a BC oldal C-n túli meghosszabbításának pontja, CE = 9.
F a CA oldal A-n túli meghosszabbításának pontja, AF = 13.
Adjuk meg a DEF háromszög köré írt körének sugarát!
.
Ötlet: Quora
A Műelme reflexiói
A feladat pedagógiai értéke és célkitűzései:
- Szintetizáló látásmód fejlesztése: A feladat nem egyetlen elszigetelt „ötletre” épül, hanem a középiskolai geometria három nagy témakörét (trigonometria, területszámítási módszerek, köré írt kör tulajdonságai) kapcsolja össze szervesen. Kiválóan alkalmas a megszerzett tudás integrálására.
- A matematikai elegancia bemutatása (Területarányok): Bár a konfiguráció első ránézésre hosszas és nehézkes számolást sejtet (a vizsgált háromszög oldalainak közvetlen kiszámításával), a feladat igazi didaktikai értéke a területarányok felismerésében rejlik. Az a felismerés, hogy a külső háromszögek területei az eredeti háromszög területének racionális szorosaiként (\(\sin(180^\circ-közvetlenül felírhatók, komoly „aha-élményt” nyújthat a tanulóknak.
- Problémamegoldó stratégiák ütköztetése: A diákok előtt két út áll:
- A mechanikus út: Koszinusztétellel kiszámolni a vizsgált háromszög oldalait, majd Héron-képlettel a területét. Ez a módszer magában hordozza a kerekítési hibák halmozódását és komoly algebramunkát igényel.
- A strukturális út: A terület kiszámítása arányosítással, majd a köré írt kör sugarának meghatározása az területes összefüggéssel. Ennek az útnak a megválasztása a magasabb szintű matematikai érettség jele.
- Ajánlott célcsoport: Emelt szintű érettségire készülő tanulók, versenyfelkészítő szakkörök (pl. KöMaL B/C kategória előkészítés).
- Differenciálási lehetőség: Tehetségesebb tanulóknak kiadható a feladat általános (paraméteres) alakban is, ahol a meghosszabbítások az eredeti oldalak adott arányú szakaszai. Így a diákok eljuthatnak egy gyönyörű, általánosított összefüggésig, ami fejleszti az absztrakciós készséget.
- IKT eszközök integrációja: A feladat kiválóan alkalmas dinamikus geometriai szoftverben (GeoGebra) való szerkesztésre. A pontok mozgatásával a diákok empirikusan is ellenőrizhetik a sugár változását, ami erősíti a vizuális intuíciót.
Miért használom a műelme szót a „mesterséges intelligencia” helyett?
- Az MI egy 70 éves félrefordítás: Az angol Artificial Intelligence kifejezésben az intelligence eredetileg információfeldolgozást és adatgyűjtést jelentett, nem emberi értelmet. Magyarra mégis tévesen intelligenciának fordítottuk.
- A mai gépek nem intelligensek, de az elme funkcióit modellezik: Nem gondolkodnak biológiai értelemben, de mintázatokat elemeznek, fordítanak és generálnak – vagyis egy mesterségesen létrehozott információfeldolgozó struktúraként, azaz műelmeként működnek.
- Szép magyar szó: Tökéletesen illeszkedik a műhold és a számítógép logikájába. Sokkal pontosabb, mint az MI, és remekül ragozható (pl. műelme-kutatás, generatív műelme).