328 Die Flugbahn eines Volleyballs
Rechts ist ein Teil der Flugbahn eines (im Weiteren vereinfachend als Punkt modellierten) Volleyballs in einem Koordinatensystem (LE = 1 m) dargestellt. Die Flugbahn liegt in einer Vertikalebene, die zu den Seitenlinien des Spielfeldes parallel ist.
Sie kann im vorliegenden Koordinatensystem näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion f zweiten Grades mit f(x) = a x2 + b x + c dargestellt werden. Der Punkt A = (–4|yA) markiert die Position des Ballkontakts und somit den Beginn der Flugbahn.
Die Punkte L und R kennzeichnen die Endlinien des insgesamt 18 m langen Spielfelds. Genau über der Mittellinie des Spielfeldes ist ein Netz gespannt. Die Oberkante befindet sich in einer Höhe von 2,24 Meter. Das Netz selbst ist einen Meter hoch.
a) Im Fall einer konkreten Flugbahn gilt: f(x) = –0,1x2 + 0,2x + 2,9.
Weise durch Rechnung nach, dass der Ball gemäß der durch f festgelegten Flugbahn das Netz „ordnungsgemäß“ überquert und (ohne weitere Einwirkung durch die gegnerische Mannschaft) innerhalb des Spielfeldes der gegnerischen Mannschaft auf den Boden auftrifft.
Für die Lösung einer bestimmten Aufgabenstellung berechnet einen Person den Wert f´(-4) und gibt als Lösung jenen Wert [0°; 90°] an, für den tan() = f´(–4) gilt.
Bestimme und interpretiere das Ergebnis im Aufgabenkontext.
b) In einem anderen Fall liegen folgende Informationen vor: Der in der Abbildung dargestellte Ballkontakt (vgl. Punkt A) erfolgt in einer Höhe von 0,5 m. Im Moment der Netzüberquerung befindet sich der Ball 0,4m oberhalb der Netzoberkante und der Ball trifft bei der Landung genau auf der Endlinie des Spielfeldes auf.
Bestimme die Gleichung der zugehörigen Funktion f und ermittle die maximale Höhe des Balls während des Flugs.
c) Angenommen, es gilt A = (–4|0,4) und der Ball trifft innerhalb des rechten Spielfeldes einen Meter vor der Endlinie auf dem Boden auf.
Begründe verbal, dass die Gleichung der Funktion f durch die vorliegenden Informationen nicht eindeutig festgelegt ist.
Ermittle die Funktionsgleichung von f in Abhängigkeit des Parameters a.
Gib einen passenden Wert für a so an, dass der Ball das Netz ordnungsgemäß überquert und zusätzlich eine maximale Flughöhe von 3 m nicht überschreitet.
d) Im Rahmen der aktuell vorliegenden Aufgabenstellung nimmt der Parameter b den Wert Null an, also
f(x) = a x2+ c.
Erläutere, inwieweit die rechts dargestellte Flugbahn unabhängig von der Wahl der Parameterwerte a und c den Sachverhalt nicht korrekt wiedergibt und ermittle, in welcher horizontalen Entfernung vom Netz die im rechten Spielfeld abgebildete Person im Falle der Parameterwerte a= -1/8 und c = 2,5 Ballkontakt hat, wenn sie den Ball in einer Höhe von h = 2 m „pritscht“.
Gib für a und c passende Werte so an, dass nachfolgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) für die y-Koordinate des Punktes A gilt: yA = 0,5.
(2) Der Ballkontakt der „pritschenden“ Person erfolgt im Punkt P = (2|h) mit h > 2m.
(3) Der Ball weist beim Überqueren des Netzes eine Höhe von maximal 4,5 m (vom Boden gemessen) auf.