球面にあるつぶ波
このワークシートはMath by Codeの一部です。
これまで、1次元のつぶ波を学んできた。
今回は3次元のつぶ波、具体的には球対称な井戸型ポテンシャルを学ぼう。
3次元の座標系はデカルト座標と球面座標があるね。
球面座標は動径ｒ、ｘｙ平面角φ、ｚ角θの3変数でとらえることができるけれど、
ポテンシャルエネルギーが球対称ならば、パラメータで方程式が分解できそうだね。
１．極座標での方程式
ハミルトン演算子をHとすると、
1次元のシュレーディンガー方程式（固有方程式、微分方程式）は
。
つぶ波ψ（ｘ、ｔ）について、^H=- ∂2/∂x2＋V（ｘ、ｔ）
つぶ波ψ（ｒ、ｔ）について、^H=- ∇2＋V（ｒ、ｔ）（ｒは位置ベクトル、∇²はラプラシアン）
だから、3次元空間のつぶ波ψ（x,y,z,t)について、^H=- (∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2)+V(x,y,z)
球対称な場では、ポテンシャルエネルギーはV(r)とおける。
つぶ波ψ（r,θ,φ,t)については、^H=- ∇2＋V（r）（ｒは動径、∇²はラプラシアン）
となるでしょう。
ｘ＝ｒsinθcosφ、ｙ＝ｒsinθcosφ、ｚ＝rcosθ、r＝sqrt(x2+y2+z2)と変数を置き換えると、
∂ψ/∂x=∂r/∂x・∂ψ/∂r＋∂θ/∂x・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂x・∂ψ/∂φ
∂ψ/∂y=∂r/∂y・∂ψ/∂r＋∂θ/∂y・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂y・∂ψ/∂φ
∂ψ/∂z=∂r/∂z・∂ψ/∂r＋∂θ/∂z・∂ψ/∂θ＋∂φ/∂z・∂ψ/∂φ
∂2ψ/∂x2=[∂r/∂x・∂/∂r＋∂θ/∂x・∂/∂θ＋∂φ/∂x・∂/∂φ](∂ψ/∂x)
∂2ψ/∂y2=[∂r/∂y・∂/∂r＋∂θ/∂y・∂/∂θ＋∂φ/∂y・∂/∂φ](∂ψ/∂y)
∂2ψ/∂z2=[∂r/∂z・∂/∂r＋∂θ/∂z・∂/∂θ＋∂φ/∂z・∂/∂φ](∂ψ/∂z)
と6本の式ができるね。
３×３＝９個の偏微分がわかれば、ラプラシアンの変数変換ができるはずだ。
9個の偏微分結果は、
(∂r/∂x、∂θ/∂x、∂φ/∂x)=(sinθcosφ、cosθcosφ/r, -sinθ/rsinθ）
(∂r/∂y、∂θ/∂y、∂φ/∂y)=(sinθsinφ、cosθsinφ/r , cosθ/rsinθ）
(∂r/∂z、∂θ/∂y、∂φ/∂z)=(scosφ、 -sinφ/r, 0）
これらを先の6本の式に代入整理すると、
∂2/∂x2＝∂2/∂r2+2∂/r∂r＝1/r (∂2/∂r2)r
∂2/∂y2＝1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)] ,
∂2/∂z2＝1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)]
となるので、
∇2=1/r (∂2/∂r2)r+1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]+1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)]
これから、
^H=- {1/r (∂2/∂r2)r+1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]+1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)]}+V(r)
２．変数を分離しよう
＜パラメータを動径とその他に分離しよう＞
つぎはパラメータをｒとそれ以外で分離しよう。
ψ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ）とおく。
これを先のハミルトニアンのシュレーディンガー方程式に代入しよう。
[ {1/r (∂2/∂r2)r+1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]+1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)]}+V(r)]RY=-ERY
分配してから、非偏微分の定数扱いを前に出す。
Y[{1/r (∂2/∂r2)rR]+R{1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)Y}=-{E-V(r)}RY
各項にr2/RYをかける。
1/R[{1/r (∂2/∂r2)rR]+1/Y{1/r2[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+1/r2[1/sin2θ（∂2/∂φ2)Y}=-{E-V(r)}r2
左辺をｒ関係、右辺を角度関係に分離し、これが等しいので定数λとおく。
r/R (∂2/∂r2)rR]＋r2{E-V(r)} ＝ ー1/Y{[1/sinθ（∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）)]Y+[1/sin2θ（∂2/∂φ2)Y}＝λ。
動径の方程式はR/r^2をかけて、
1/r ∂2/∂r2(rR)＋{{E-V(r)} ーλ/r2}R=0
角の方程式はYをかけて、
1/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(Y)) + 1/sin2θ (∂2/∂φ2(Y))+λY=0
＜角のパラメータをθとφに分離しよう＞
つぎはパラメータをY=s(θ)f(φ）とおき、角の方程式に代入しよう。
1/sinθ（∂/∂(sinθ ∂/∂θ(sf)) + 1/sin2θ (∂2/∂φ2(sf))+λsf=0
非偏微分の定数扱いを前に出す。
f/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) + s/sin2θ (∂2/∂φ2(f))+λsf=0
各項にsin2θ/sfをかける。
sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) 1/s+ 1/f (∂2/∂φ2(f))+λsin2θ=0
左辺をθ関係、右辺をφ関係に分離し、これが等しいので定数M2とおく。
sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) 1/s +λsin2θ=-1/f (∂2/∂φ2(f))＝M2
・θについてはs/sin2θをかけて、s=s(θ）の方程式
１/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) +[λ- M2/ sin2θ]s＝0
・φについては、ｆをかけて、 f(φ）の方程式は
(∂2/∂φ2(f))＋ｆM2＝０
これで、角についても方程式を分離できたね。
３．球面のつぶ波の関数を求めよう
＜東経φの方程式からｆの波＞
∂2/∂φ2(f)＋ｆM2＝０ ｆ(φ)=Aexp(iMφ） A=1/sqrt(2π）Mは整数 とする2π周期でくるくる回る波だ。 Mは磁気量子数という。
＜北極からの南緯θの方程式からｓの波＞ １/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(s)) +[λ- M2/sin2θ]s＝0 z＝cosθに戻して、 s(θ)=PM(z)とおくと、 d/dz[ (1-z2)d/dz(PM(z))]+[ λ- M2/(1-z2)]PM(z)=0 ルジャンドルの微分方程式になる。 λ=l(l+1)で、lが非負整数とすると、 ルジャンドル多項式P_l(z)=1/2^l *l! (z^2-1)^(l) l階微分したもの P_0(z)=1, P_1(z)=1/2(z^2-1)'=z, P_2(z)=1/4*2![ (z^2-1)^2]^(2)=1/8 (z^4-2z^2+1)''=1/8(12z^2-4)=1/2(3z^2-1) ......... ルジャンドル関数P^M_l(z)が解となる。 m=abs(M)＜＝lとするとき、 P^M_l(z)=(1-z^2)^(m/2) * d^m/dz^m (P_l(z)) 例えば、 P^0_1(z)=(1-z^2)^0/2 *P_1(z)=z P^1_1(z)=(1-z^2)^1/2 *P_1(z)'=sqrt(1-z^2) z' P^0_2(z)=(1-z^2)^0/2 * P_2(z)=1/2(3z^2-1) P^1_2(z)=(1-z^2)^1/2 * P_2(z)'=sqrt(1-z^2) 1/2(3z^2-1)'=sqrt(1-z^2) 3z P^2_2(z)=(1-z^2)^2/2 * P_2(z)''=(1-z^2)1/2(3z^2-1)''=(1-z^2)3 だから、 P^0_1(cosθ)=cosθ P^1_1(cosθ)=sqrt(1-cos^2θ) (cosθ)'= sinθ(-sinθ)=-sin^2θ P^0_2(cosθ)=1/2(3cosθ^2-1) P^1_2(cosθ)=sinθ (3cosθ)=3sinθcosθ P^2_2(cosθ)=3sin^2θ
＜ｆとｓのまとめて、球面の波を１つの式Ｙにする＞ Mが整数、lが非負の整数のとき、 m=abs(M), ε=if(M>0, (-1)^M, 1)とするとき、角度関係の解は次のようになります。 Y^M_l(θ,φ)=N^M_l s(θ）f(φ） ＝ε sqrt[(2l+1)/4π * (l-m)!/(l+m)!] P^M_l(cosθ) exp(iMφ) たとえば、 Y^0_1=sqrt(3/4π*1!/1!) P^0_1(cosθ)exp(i0 )= sqrt(3/4π) cosθ Y^1_1=-sqrt(3/4π*0!/2!) P^1_1(cosθ)exp(i1φ )=- sqrt(3/4π*2) [-sin^2θ] exp(i φ)=sqrt(3/8π) sin^2θ exp(i φ) Y^0_2=sqrt(5/4π*2!/2!) P^0_2(cosθ)exp(i0 )= sqrt(5/4π) 1/2(3cosθ^2-1) Y^1_2=-sqrt(5/4π*1!/3!) P^1_2(cosθ)exp(i1φ )=- sqrt(5/4π*6) 3sinθcosθ exp(i φ) =-sqrt(15/8π) sinθcosθ exp(i φ) Y^2_2=sqrt(5/4π*0!/4!) P^2_2(cosθ)exp(i2φ )= sqrt(5/4π*24) 3sin^2θ exp (i 2φ) = sqrt(45/96π) sin^2θ exp (i 2φ)=sqrt(15/32π) sin^2θ exp (i 2φ) ＜球面のつぶ波Ｙ＞ さっきみたように、球面の解、つぶ波はY^M_l(θ,φ）となったね。 これを球面調和関数と呼んだりする。発散せずに、おとなしく球面で振動を繰り返すから調和してる。 Mはｚ軸をくるくる回る磁気の量子数だった。Ｍは磁気量子数。 ｌの正体は角運動量演算子を導入するとわかる。 角運動量Lは古典論理では、動径ｒと運動量ｐの外積L=ｒ×ｐだった。 これを量子化した演算子で置き換えると、 3次元座標は(x,y,z) ⇒ （ x,y,z） 3次元運動量は(px,py,pz) ⇒ ‐ (∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z）だった。極座標に直すを ^Lx=y^pz-z^py＝- (sinφ ∂/∂θ + cotθ cosφ∂/∂φ） ^Ly=z^px-x^pz= (cosφ ∂/∂θ - cotθ sinφ∂/∂φ） ^Lz=x^py-y^px=‐ ∂/∂φ これから^L^2=^Lx^2+^Ly^2+^Lz^2 =......= -[1/sinθ ∂/∂θ（sinθ ∂/∂θ）＋i/sin2θ）∂2/∂φ2] ここで、もともとの角の方程式を思い出そう。 1/sinθ（∂/∂θ(sinθ ∂/∂θ(Y)) + 1/sin2θ (∂2/∂φ2(Y))+λY=0 ^L^2/( -) Y+λY＝０となるね。 つまり、 ^L^2Y= λY （λ=l(l+1) lは非負の整数） ^L^2の固有方程式の解、固有関数がYになっていて、 l(l+1)が固有値だということ。 また同様に、^Lzｆ‗M＝M f_Mでもある。（計算は略） Y=s(θ)f(φ）としたのだから、 Yは^Lzの固有関数でもあり、そのときM が固有値になっている。 言い換えると、角運動量状態を表す量子数M,lによって、球面のつぶ波Yが完全に決まる。 L=1のとき、固有値はhbar 1(1+1)=2hbarだから、これが運動量演算子の2乗値となる。 これから、運動量の大きさがhbarの√２＝1.414倍で、ｚ成分が0, ±hbarのどれかになるから、方向が 限定される。 これから、ｌは方向量子数と呼ばれることになった。４．節のイメージトレーニング
動径の方程式は次回に回します。いよいよ、3次元の波が具体化されるでしょう。
でも、その前に、３Ｄの波のイメージトレーニングだけは、しておきたい。
＜節について＞
φ（ｘ）＝sin(nπx/a) ｘ軸の[0,a]区間の波です。
1次元の波線の節は点でした。山と谷の境目の点ですね。
山または谷を腹と呼ぶことにする。
節の点数は、腹の数の和ー１になるね。
φ（ｘ）φ（ｙ）＝sin(nπx/a) sin(nπｙ/a) ｘｙ平面[0,a]×[0,a]領域の波です。
2次元の波面の節は山と谷の境目直線です。
ｘの腹が１、ｙの腹が１なら節は０本
ｘの腹が２、ｙの腹が１なら節は１本
ｘの腹が３、ｙの腹が１のとき節は2本
ｘの腹が２、ｙの腹が２で順に山、谷、山、谷と中心を1周するときは、4本の節分が中央に集まり2本。
だから、節の本数はｘ腹＋ｙ腹－２になるね。
φ（ｘ）φ（ｙ）φ(z) ＝sin(nπx/a) sin(nπｙ/a) sin(nπｚ/a) ｘｙz空間[0,a]×[0,a]×[0,a]領域の波です。
３次元の波体の節は湧と吸の境の面となるかな。
ｘ、ｙ、ｚの腹の数が１，１，１なら節は０面
腹の数が２、１、１なら、ｘ方向に湧きと吸いの２つの固まりがあり節は1面。
３，１，１なら例えば、吸い、湧き、吸いの３つのグミがｘ方向にならぶ。節は２面。
２，２，１なら、ｚ軸をかこんで、吸い、湧き、吸い、湧きの４つのグミが並ぶ。節は2面。
２，２，２なら、3次元に吸い、湧きが交互に８つのグミが並ぶ。節は３面。
だから、節の面数はｘ腹＋ｙ腹＋ｚ腹ー３
球面調和関数Ｙというつぶ波の節はどうなっているか。
磁気量子数 M と方位量子数 l が、つぶ波の「節（ふし）」の数を支配しています。
中心からの距離 ｒ が一定の球面上で、つぶ波がどのように分布しているのでしょう。
l（方位量子数）は、球面上にある「節の線の総数」を決めます。 lが増えるほど、模様が細かくなります。M（磁気量子数）は、その節のうち、何本が「縦方向（経線）」であるかを決めます。
残りの l-m本は「横方向（緯線）」の節になります。
＜エネルギーの和と縮重について＞
さて、最初に極座標を扱ったときに変数分離ができるから計算できる（カンタンというわけではない）
という方針で進んできたね。
つぶ波の式をそれぞれのパラメータのつぶ波の積で表すことができた。
くわしくは省きますが、
3次元の井戸型（xが[0,a],yが[0,b],zが[0,c]の範囲だけポテンシャルが０で、他では無限大の障壁）では
x,y,z軸の方向のつぶ波の腹の数をnx, ny, nzとし、途中で変わらない量をkとしておく。
つぶ波のエネルギーは
Enx＝ｋ(nx/a)^2,
Eny=k(ny/b)^2,
Enz=k(nz/c)^2
となり、
つぶ波全体のエネルギーはEnx,ny,nz=Enx + Eny +Enzと和になるという法則がある。
ｎはエネルギー準位だ。
カンタンな例では、上にある、1辺aの立方体に閉じ込められたつぶ波では、
もちろん、(nx,ny,nz)=(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)ではエネルギーの和はｋ(a)^2(4+4+1)=9ｋ(a)^2で等しくなる。
だから、このエネルギーレベル９に３つの異なるが対称的な状態、向きを変えただけが詰まっている。
このように、量子数、腹の数の組み合わせが違う状態が同じエネルギーの高さにあるとき、それらの状態を縮合（しゅくごう）しているという。
（例）
2次元でb=a=1の正方形のとき
(nx,ny)=(3,1),(1,3)は９のエネルギーレベルで縮合している。
（例）
3次元でa=b=c=1の正方形のとき
(nx,ny,nz)=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)は６のエネルギーレベルに縮合しているね。
（例）
3次元でa=1,b=c=2の正方形のとき
(nx,ny,nz)=(3,1,2),(3,1,2)のように、ｙ、ｚの量子数を入れ替えても量子数について対称だから、縮合するね。
課題：腹と節の関係をgeogebraで視覚化してみよう。
2次元のsurface関数を使うと、山と谷がカンタンにかけます。
nx=slider(1,5,1)
ny=silder(1,5,1)
surface(s,t, sin(nx pi x /4) sin(ny pi y/4), s ,-2,2, t,-2,2)としましょう。
スライダーはグラフィックビューにはりつけ、数式と上下に配置し、
残り半分で、空間図形のビューにつぶ波の曲面が表示されるようにするといいですね。