Egy probléma általánosítása (Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok - 127.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Koszinusz, Szinusz, Háromszögek
Száldobágyi Zsigmond feladata általánosítása következik itt.
Fejezzük ki a háromszög súlyvonalát az oldalai segítségével!
Koszinusztétel az ACC" háromszögben:
(1)
Ismert trigonometrikus azonosság: . Ezt (1)-be helyettesítve:
(2)
Koszinusztétel az ABC háromszögben:
A (2)-be helyettesítve:
Ez az eredmény érdemes megjegyezni, mert sok probléma, feladat megoldásakor használható
További általánosítás
Az ABC háromszög oldalai a szokásos jelölésekkel a, b, c. Az AB oldal P igaz, hogy . Adjuk meg a CP szakasz hosszát!
A számolás az alábbi fájlban követhető:
Két háromszögre alkalmazva a koszinusztételt, kaptuk a megoldást. Tudomásunk szerint a kapott eredményt Steiner-tételnek szokás hívni.
Az n=m=1 helyettesítéssel a súlyvonal, az m=b, n=a helyettesítéssel a belső szögfelező szakasz hosszát kapjuk. (szögfelező tétel)