Sección 1.4 -El incírculo y excírculos
Teorema 1.41
, , .
Observemos la siguiente figura
La figura muestra el incírculo tocando los lados BC, CA, AB en X, Y, Z. Como dos tangentes a un círculo desde cualquier punto externo son iguales (esta prueba se encuentra en el capítulo preliminar), vemos que , , . Hemos nombrados estos segmentos como x, y, z, de tal manera que:
, y .
Sumando estas ecuaciones y utilizando la abreviación de Euler para el semiperímetro, obtenemos:
, tal que .
Hemos demostrado el Teorema.
Teorema 1.42
Demostración: Observemos la siguiente figura
Como el triángulo IBC tiene base a y altura r, su área es . Añadiendo a la expresión analoga para (ICA) e (IAB) obtenemos: .
Hemos demostrado el teorema.
Teorema 1.43
Los bisectores externos de cualquier dos ángulos de un triángulo son concurrentes con el bisector interno del tercer ángulo.
Demostración: La previa figura muestra el , en el cual sus lados son bisectores externos de los ángulos A,B,C. Cualquier punto en el bisector de son equidistantes de AB y BC. Similarmente, cualquier punto en es equidistante de BC y CA. Por tanto, el punto donde estos dos bisectores externos se encuentran a distancias iguales de todos los tres lados. Como es equidistante de los lados AB y AC, tiene que yacer en el conjunto de puntos equidistantes de las lineas; o sea, tiene que yacer en la linea AI, el bisector interno de .