M3.V.12 A2 AB Geraden im Raum
Geraden mit Vektoren beschreiben
Erinnerung:
Sie haben in der Sekundarstufe I Geraden kennengelernt. Geometrisch haben Sie Geraden als alle Punkte identifiziert, die die Geradengleichung erfüllen.
Sie kennen sicher ebenfalls die eindeutige Festlegung einer Geraden durch zwei Punkte und , die auf der Geraden liegen und die Geradengleichung:
Alle Punkte , die auf der Geraden liegen, erfüllen die Geradengleichung .
Man erkennt in der Gleichung die Änderung der Koordinaten zwischen den beiden Punkten und und die Koordinaten von als Bezugspunkt.
Ganz ähnlich kann man Geraden auch mit Vektoren und deren geometrische Deutungen beschreiben - in 2D und 3D: man benötigt einen Bezugspunkt und einen Pfeil, um die Änderungen zu beschreiben.
Alle Punkte , die auf der Geraden liegen, erfüllen die Geradengleichung .
Man erkennt in der Gleichung die Änderung der Koordinaten zwischen den beiden Punkten und und die Koordinaten von als Bezugspunkt.
Ganz ähnlich kann man Geraden auch mit Vektoren und deren geometrische Deutungen beschreiben - in 2D und 3D: man benötigt einen Bezugspunkt und einen Pfeil, um die Änderungen zu beschreiben.Aufgabe 1
Erkunden Sie das nachfolgende Applet M3.V.12 A2 App Geraden vektoriell und beschreiben Sie, wie man mithilfe von Punkten und Vektoren eine Geradengleichung aufstellt. Erläutern Sie die einzelnen Bestandteile der Gleichung.
M3.V.12 A2 App Geraden vektoriell
|| Benutzerhinweise zum obigen Applet
|| Ein Häkchen bei mehr Repräsentanten blendet Pfeildarstellungen desselben Vektors ein.
|| Ein Häkchen bei Punkt und Verschiebungsvektor zeichnet einen Punkt und von diesem aus eine
|| Pfeildarstellung des 1.5-fachen des Vektors ein. Das Pfeilende markiert den Punkt .
|| Der Faktor t=1.5 lässt sich per Schieberegler ändern.
|| Mit den Schaltern an aus unter Spur hinterlässt der Punkt (Schieberegler) eine Spur.
|| Ein Häkchen bei Gerade zeichnet eine Gerade und bei Geradengleichung wird selbige dazu angezeigt.
|| Wenn man oben rechts im Applet auf 
klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Wenn man unten rechts im Applet auf 
klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
Aufgabe 2
Erkunden Sie das nachfolgende Applet und geben Sie in der Eingabezeile die Geradengleichung in der Form ein. Erzeugen Sie dann auf möglichst vielen Wegen eine Gerade durch die Punkte und . Notieren Sie schließlich drei verschiedene Vorgehen, um in GeoGebra 3D eine Gerade zu erzeugen.
Im dreidimensionalen Raum - in GeoGebra 3D
|| Benutzerhinweise zum obigen Applet
|| Vektoren und Punkte werden in GeoGebra beide als Liste von Einträgen klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
...=(1,2,3) eingegeben.
|| Bei Großbuchstaben interpretiert GeoGebra dies als Punkt, bei Kleinbuchstaben als Pfeil.
|| Ein weiterer Punkt lässt sich dynamisch als Summe aus Punkt und Vielfachem eines Vektors erzeugen.
|| Ist der Bezeichner des Vielfachen noch nicht vergeben - wie hier k - interpretiert GeoGebra diesen
|| als Parameter und erzeugt automatisch einen Schieberegler.
|| Wenn man oben rechts im Applet auf klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
Quellen:
Susanne Digel und Jürgen Roth.