Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

El Laberint

Autor:Pere Burgués
Image
Què t'ha passat? T'has perdut? Normal, estàs en un laberint! Com has acabat aquí? No ho sé, però l'important ara és que sortim d'aquí. Dues persones s'han trobat enmig d'un laberint i han de trobar la sortida. Han decidit separar-se per trobar la sortida abans, però al cap de poc s'han tornat a trobar en una cruïlla. Cada una explica el recorregut que ha fet: Joana: des que ens hem trobat, he anat... - 3 metres amunt i 2 a la dreta (aquest primer ja està dibuixat) - 1 metre amunt i un a l'esquerra - 3 cap a la dreta sense mourem verticalment - 1 cap a la dreta i 2 avall - 3 cap a l'esquerra i 1 avall - 2 cap a la dreta i 1 avall Pol: doncs jo he fet... - 2 metres cap a l'esquerra i 1 cap amunt - 2 metres més cap a l'esquerra i 4 cap avall - 2 cap amunt i 2 cap a la dreta - 3 cap a la dreta i 1 cap avall - 1 metre amunt sense moure'm horitzontalment - 3 cap a la dreta sense moure'm verticalment - 1 cap amunt sense moure'm en horitzontal

Dibuixem els trajectes de la Joana i el Pol

La Joana i el Pol han tret un paper i s'han posat a dibuixar els seus desplaçaments per intentar fer-se una idea més clara del laberint. Fes els vectors que representen els trajectes de la Joana i el Pol, tenint en compte que quan es van trobar al principi estaven al punt (0, 0) i cada unitat als eixos representa un metre. Pinta els vectors del trajecte de la Joana d'un color i els del Pol d'un altre de diferent.

La Joana i el Pol es pregunten... En quin punt ens hem acabat trobant després de separar-nos?

El desplaçament final

Quant s'ha desplaçat la Joana des del punt d'inici (0, 0) fins al punt on s'han trobat al final, si ho mirem en línia recta? Quin és el vector que representa aquest desplaçament?

I el Pol? Quin ha estat el desplaçament en línia recta? Quin és el vector que representa el desplaçament?

Revisa tu respuesta

Acabem de sumar amb vectors!

El Pol i la Joana han estat una bona estona discutint els camins i parlant sobre matemàtiques, perquè s'han adonat que podien representar els seus desplaçaments amb vector sumant-los! Aquesta ha estat la seva conversa. Quan sumem vectors, el que fem és encadenar un desplaçament darrere un altre, diu la Joana. Fixa't en els vectors que tens a continuació i suma'ls posant-ne un on acaba l'altre començant al punt (0, 0). Pots moure els vectors arrossegant-los amb el ratolí fins on tu vulguis sempre que tinguis l'eina Mou seleccionada. Ves encadenant-los un després de l'altre.

Quin és el vector que representa el desplaçament des del punt d'inici al final (en línia recta) després de la suma dels tres vectors?

És important l'ordre en què poses els vectors? Comprova-ho movent els vectors i fent la suma en un altre ordre.

Analitzem la suma de vectors:

En Pol és més de fer les sumes analíticament, és a dir, sense dibuixar, i li vol explicar a la Joana com es fa. Fixa't en la següent suma de vectors que acabo de dibuixar, li ha dit el Pol.
Després de mirar-se el dibuix amb els vectors, el Pol continua la seva explicació: Quan sumem els vectors, gràficament els anem encadenant per tenir un vector resultant. Fixa't en les components d'aquest nou vector: Recordem que la primera component, indica el desplaçament fet en l'eix horitzontal, . Si veiem els vectors que hem sumat, les components de cada un són: per al vector , per al i per . Això vol dir que ens hem desplaçat 2 "passos" a la dreta, després 1 a la dreta i 2 a la dreta. Al final, en total, ens desplacem 5 passos a la dreta. Per tant, quan fem suma de vectors, el que fem és sumar les components corresponents de cada vector. Veiem que també coincideix amb les components : Ja hem vist que el resultat és: La Joana molt atenta, de cop crida: Ah!, crec que ja ho pillo! Però... sortirem d'aquí o no?

Tornar enrere

La Joana, nerviosa, comença a marxar per trobar la sortida. Des del punt on eren ha avançat 4 metres a la dreta i 5 cap avall. Però de cop... s'adona que s'ha deixat alguna cosa! Merda! El mapa se l'ha quedat el Pol! Així que ha de tornar enrere, i fer el desplaçament contrari que havia fet.

Vector oposat

Quin és el vector que representa el desplaçament de tornar enrere que ha fet la Joana?

Què ha passat amb les components d'aquest nou vector de tornar enrere si ho comparem amb el vector de l'anada (que té aquestes components )?

Revisa tu respuesta

La Resta és la Suma de l'oposat

La Joana ha tornat fins on hi havia el Pol i l'ha atrapat pels pèls, perquè ell també estava a punt de marxar. Escolta! Que jo també vull el mapa que hem fet per poder sortir abans! Sí, és clar, però és que a mi també em fa falta, què et penses! Fem una cosa, i si deixem de separar-nos, que tota l'estona són problemes. Sortirem abans si col·laborem! Mmmmm... d'acord, potser tens raó. Mira, jo havia pensat en refer els meus últims quatre desplaçaments abans d'arribar aquí i després agafar una altra direcció que m'ha semblat que ens podia portar a la sortida. Ho provem? Va, sí! Així doncs, hem de desfer... - el pas de 1 cap amunt sense moure'm en horitzontal - 3 cap a la dreta sense moure'm verticalment - 1 metre amunt sense moure'm horitzontalment - 3 cap a la dreta i 1 cap avall I a partir d'això, farem... - 3 metres a l'esquerra i 2 cap avall - 1 a la dreta i 3 amunt - 4 cap amunt i 5 a la dreta

En quin punt acabaran el Pol i la Joana fent aquest nou recorregut? Has de fer aquesta operació amb els vectors: Tingues en compte el que acabes d'aprendre sobre el canvi de signes en els vectors oposats, és a dir contraris. Fes els càlculs per saber quin serà aquest punt final.

Comprova que realment has fet bé la operació dibuixant els vectors de cada desplaçament. Vigila amb els vectors que s'estan restant: recorda que vol dir que estem fent el camí contrari, per tant tenen la mateixa direcció però sentit oposat.

Coincideix el punt on has acabat el dibuix amb el resultat de fer la operació?

Revisa tu respuesta

Quin és el vector del desplaçament total que han fet la Joana i el Pol des del punt on han començat a caminar junts () fins on han arribat ara ()? És el resultat de fer la operació

La Sortida

Mira Pol! Em sembla que ja veig la sortida, corre! Finalment, després de caminar molt i haver de refer el camí algunes vegades, la Joana i el Pol han aconseguit trobar la sortida. S'han anat apuntant els desplaçaments que han fet fent servir els seus nous coneixements de vectors per resumir el camí que els ha portat a la sortida. Per fer-ho, han definit uns vectors que han anat utilitzant per sumar-los, restar-los quan havien de refer el camí i fins i tot els han multiplicat per simplificar les operacions. Fixa't en el que han apuntat: - 1r Desplaçament: - Descans - 2n Desplaçament: - Beure aigua - 3r Desplaçament: - Mirar el mapa - 4t Desplaçament: - Discutir - 5è Desplaçament: - Sortida! Mira el vídeo que tens a continuació per repassar la suma i la resta amb vectors i després resol aquestes operacions per saber els desplaçaments que han anat fent. També hauràs de recordar el que vas aprendre en l'activitat anterior de la multiplicació d'un vector per un nombre (escalar).

Suma i Resta de Vectors

1r Desplaçament

2n Desplaçament

3r Desplaçament

4t Desplaçament

5è Desplaçament

Total

Fes la suma de tots els 5 desplaçaments que han fet per saber quin és el vector que resumeix totes les voltes que han fet per trobar la sortida des del punt on han sortit.

Quina volta més gran que hem fet! Però almenys hem aconseguit sortir d'aquest laberint. La veritat és que ha estat força divertit, i a més he après coses noves, què més puc demanar?

Nuevos recursos

Descubrir recursos

Descubre temas