6-Eck-Netz & Doppelverhältnisse
- Author:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (02. Oktober. 2022)
Das 6-Eck-Netz des obigen Applets besitzt eine spezielle und außergewöhnliche Eigenschaft: Die Doppelverhältnisse von je 4 benachbarten Punkten sind identisch! Diese etwas vekürzte Aussage werden wir unten erläutern, zunächst eine kurze Erklärung zum Applet: Erstellt wurde es offline mit geogebra classic 5. Das in CAS erklärte Doppelverhältnis von 4 komplexen Punkten, - eine komplexe Funktion mit 4 Variablen - wird offline problemlos berechnet, siehe die Bildschirm-Kopien unten. Das Doppelverhältnis von 4 Punkten ist genau dann reell, wenn die Punkte auf einem Kreis liegen; die kleinen nicht-reellen Anteile sind Rundungsfolgen. Dass das Applet online alle Doppelverhältnisse - auch die definierte Funktion - auf 0 setzt, können wir uns nicht erklären. Zwischendurch wurden die Berechnungen angezeigt - nach dem refresh-Button(?) - dann wieder nicht! Ein Klick in die CAS-Zeile 1 kann auch wirken! Gezeigt wird im Applet ein Ausschnitt einer 2-teiligen bizirkularen Quartik, einige der doppelt-berührenden Kreise und die zugehörigen Leitkreise. Durch jeden Punkt aus dem Bereich zwischen den Quartik-Teilen gehen aus jeder der 3 in Frage kommenden Kreis-Scharen genau 2 Kreise. Daraus kann man 23 = 8 verschiedene 6-Eck-Netze aufbauen. Spezielle Eigenschaft des obigen Netzes:- Für das oben erzeugte Netz liegen die den doppelt-berührenden Kreisen durch einen Punkt zugeordneten Punkte auf den Leitkreisen und der Punkt selber jeweils auf einen Kreis. 2 der 8 Netze besitzen diese Eigenschaft.
 | |  |
Wozu die aufwändige Berechnung der Doppelverhältnisse?
Betrachtet man die unterschiedlichen Beispiele von 6-Eck-Netzen aus Kreisen, so fällt eine Art Gleichmäßigkeit
in der Lage der Punkte auf den Kreisen und auf den Leitkreisen auf (sofern sie eine Rolle spielen).
Es ist leicht zu erkennen, dass für 6-Eck-Netze aus 3 Geradenbüschel 4 benachbarte Punkte auf den Geraden
stets dasselbe Doppelverhältnis besitzen.
Wir haben die Vermutung, dies könne generell für 6-Eck-Netze gelten, zunächst an obigem Beispiel getestet und
die oben angezeigte erstaunliche "Bestätigung" gefunden. Das Beispiel ist, soweit wir sehen, jedoch eine seltene
Ausnahme. Schon bei 6-Eck-Netzen aus den doppelt-berührenden Kreisen einer 2-teiligen bizirkularen Quartik,
welche die oben beschriebene spezielle Eigenschaft nicht besitzen, erweist sich die Vermutung als unzutreffend.
Auch für die in der Aktivitäten Andere 6-Eck-Netze und Ellipsen & 6-Eck-Netze aus Kreisen aufgezählten
6-Eck-Netze fand sich keine Bestätigung der Vermutung:
die Doppelverhältnisse variieren teilweise sehr von Punkte-Quatrupel zu Punkte-Quatrupel.
Daher ist das oben gefundene Beispiel umso bemerkenswerter:
4 benachbarte Netz-Punkte auf jedem der doppelt-berührenden Kreise,
4 benachbarte, den doppelt-berührenden Kreisen zugeordnete Punkte auf den Leitkreisen besitzen stets
dasselbe Doppelverhältnis!
Gemeint ist das Netz, welches entsteht, wenn man von 2 Punkten p0, p1 auf einem der doppelt-berührenden Kreise
ausgehend, das Gewebe der Kreise und Schnittpunkte unter den genannten Bedingungen schrittweise konstruiert.
Diesmal wurde das Doppelverhältnis nicht Null-gesetzt! (??) Doch, beim Neustart, manchmal hilft der refresh-button.
Siehe auch das Bildschirmbild unten.
Wir bewerten dieses Ergebnis als so bemerkenswert, dass wir es noch einmal mit vergrößertem Netz anzeigen!
Zusammengefasst: benachbarte 4 Punkte auf den doppelt-berührenden Kreisen, für jede der 3 Symmetrieen,
benachbarte 4 Punkte auf jedem der 3 Leitkreise besitzen dasselbe Doppelverhältnis, sofern die Reihenfolge stimmt,
und sofern die oben genannte spezielle Eigenschaft des Netzes vorliegt.
| Falls wieder alle Egebnisse auf Null gesetzt wurden!! |  | Die Punkte liegen im linken oberen Drittel des Netzes! |