Origens da Geometria

A palavra Geometria vem do grego Geometrein, onde Geo significa terra e metrein = para medir. Assim, a Geometria era originalmente a ciência para "medir a terra". As primeiras ideias geométricas surgiram da necessidade do homem resolver problemas como construção de casas, delimitação de terrenos e plantações, entre outros.

Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte, essencialmente, no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo. As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e babilónica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria. Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilónia à China, passando pela civilização Hindu. Os babilónicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e comércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo. A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.). Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides. Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa só muito recentemente superado. "A Idade da Pedra durou vários milhares de anos, começando talvez já em 5 milhões a.C. e indo até por volta de 3000 a.C. Num mundo de vastas pastagens e savanas onde habitavam muitos animais selvagens e as pessoas eram principalmente caçadores e colhedores. Suas vidas eram agrestes e difíceis, de maneira que elas viviam demasiado ocupadas e em permanente agitação para poderem desenvolver tradições científicas. Depois de 3000 a.C., emergem comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo, na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo, na China. Essas comunidades criaram culturas nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver.” Introdução à História da Matemática – Howard Eves Na Babilônia Por volta de 2000 a.C., os babilônios usavam tábulas de argila cozida para registrar seus conhecimentos. Já foram desenterradas mais de 50.000 tábulas que estão nos museus de Paris, Berlim, Londres e, também, nas Universidades de Yale, Columbia e Pensilvânia. A escrita é cuneiforme. Já foram identificadas quase 400 tábulas como estritamente matemáticas.

Conhecimentos dos babilônios de 2000 a.C até 1600 a.C.,aproximadamente: a) a área do retângulo, do triângulo retângulo e do triângulo isósceles (talvez um triângulo genérico), de um trapézio retângulo; b) o volume de um paralelepípedo reto-retângulo e de um prisma reto de base trapezoidal; c) consideravam o comprimento do círculo como o triplo do seu diâmetro e sua área como um duodécimo da área do quadrado de lado igual ao comprimento da circunferência; d) o volume de um cilindro circular reto como produto da área da base pela altura; e) o volume do tronco de uma pirâmide quadrangular regular era calculado de maneira errada como o produto da altura pela semissoma das bases; f) eles sabiam que triângulos retângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais; g) eles sabiam que a altura (não usavam este termo) de um triângulo isósceles divide a base em duas partes iguais; h) conheciam o Teorema de Pitágoras (filósofo e matemático grego, que viveu entre 570 a.C. e 500 a.C. aproximadamente); e i) em uma tábula descoberta mais recentemente, já podemos encontrar 3 1/8 como estimativa para π. j) nenhuma informação sobre demonstração, apenas problemas do tipo “faça assim e assim”, com algumas exceções, etc.

Por volta de 2000 a.C., na região localizada às margens do Rio Nilo. Os egípcios usavam pedras e papiros (precursor do papel) para registrar seus conhecimentos. A Matemática do Egito nunca alcançou o nível obtido pela matemática babilônica. Os egípcios utilizavam um sistema de numeração não-posicional. O sistema de numeração era feito por meio de hieróglifos. Representar números grandes era uma tarefa muito trabalhosa, devido à repetição de símbolos. A principal operação matemática era soma, da qual derivavam todas as outras operações com números inteiros.

Devido às cheias do rio Nilo, era necessário medir o terreno periodicamente para calcular a porção do terreno perdido para os vizinhos. Apesar da precisão das medidas, dificilmente a área do terreno depois da cheia cabia um número inteiro de vezes na área do terreno antes das cheia e aí foram criados os números fracionários. Os egípcios foram os primeiros a utilizar um calendário baseado no sol, criado em 3000 a.C.. Foi motivado pela falta de parâmetros precisos na previsão das épocas de plantio. Cada ano começava com a enchente anual do Nilo que possuía 365 dias divididos em 12 meses de 30 dias e mais 5 dias para comemorar o aniversário dos deuses Osíris, Hórus, Ísis, Neftis e Set. As Pirâmides eram templos que os faraós mandavam construir para lhes servir de túmulo. As maiores pirâmides do Egito são Queóps, Quéfren e Miquerinos, que são conhecidas como “as pirâmides de Gizé”, pois ficam próximas a cidade de Gizé. A de Quéops é a maior, possuindo 147 metros de altura e tendo por base um quadrado de 234 metros de lado. Descobertas apontam que foram necessários 100 mil operários que levaram 30 anos para colocar no lugar os 2 milhões e meio de blocos de pedra usados na construção de Queóps.

Este papiro contém 84 (ou 85) problemas matemáticos: frações, resolvia equações simples, progressões, medição de áreas de triângulos, cálculo de volumes e etc. Pelos cálculos obtidos no Papiro Rhind, sabemos que os egípcios dispunham de técnicas inteligentes para decompor frações unitárias. No Papiro Rhind encontra-se uma tabela de decomposição dos números 2/5, 2/6, … , 2/101 e 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570.

Este papiro possui a dimensão de 8 cm de largura por 5 m de comprimento. Foi escrito por um escriba desconhecido em torno de 1850 a.C.. Atualmente, está no Museu de Belas Artes de Moscou. Nele estão representados 25 problemas matemáticos sobre: área do triângulo e do retângulo, área de uma superfície curva, volume de uma pirâmide truncada, equações lineares, etc.

Os maiores cientistas do mundo antigo viveram na Grécia, um conjunto de ilhas rochosas e penínsulas no extremo leste do Mar Mediterrâneo. Existem poucas fontes de informação dos primeiros passos da matemática grega. O filósofo grego Proclo, nascido no século V d.C., escreveu um resumo do desenvolvimento da geometria grega, desde seus primeiros tempos até Euclides, chamado Sumário Eudemiano. Assim, o homem começou a indagar como e por quê. Os processos empíricos do Oriente Antigo, suficientes para responder questões na forma de como, não mais bastavam para as indagações mais científicas na forma de por quê.

Tales de Mileto foi um filósofo, matemático, engenheiro, homem de negócios e astrônomo da Grécia Antiga, considerado, por alguns, o primeiro filósofo ocidental. De ascendência fenícia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor, atual Turquia. Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga e o seu falecimento consta em Mileto Turquia. A Matemática dedutiva começou com Tales de Mileto, por ser um mercador que ficou rico, pode dedicar parte da sua vida ao estudo e algumas viagens. Viveu um tempo no Egito e calculou a altura de uma pirâmide por meio da sombra. Alguns resultados de Tales: a) qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado; b) os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; c) ângulos opostos pelo vértice são iguais; d) se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais; e e) um ângulo inscrito num semicírculo é reto.

Foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como fundador do movimento chamado Pitagorismo. Na sua maioria, as informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois da sua morte, de modo que há pouca informação confiável sobre ele. Nasceu por volta de 572/569 a.C., em Samos, na Grécia Antiga e faleceu, em Metapomtum Village, na Itália, fundou a Escola Pitagórica. Foi um dos mais ilustre da sua época e é possível que tenha sido discípulo de Tales. Morou em Crotona, uma colônia grega ao sul da Itália, onde fundou a sua famosa escola que era um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais. A escola era, também, uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias. Devido a grande influência e as tendências aristocráticas da irmandade ela foi destruída por forças democráticas do sul da Itália. Pitágoras fugiu para Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avançada entre 75 e 80 anos. A irmandade continuou existindo por mais dois séculos. Os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e todas as descobertas eram atribuídas ao seu fundador. Daí é difícil saber exatamente quais descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras. O Teorema de Pitágoras: já era conhecido pelos babilônios, mas foi Pitágoras quem fez a primeira demonstração geral. Uma grande realização dos pitagóricos foi a descoberta de que existem números irracionais. Eles perceberam que não existe um número racional (uma fração) que represente a diagonal do quadrado cujos lados medem uma unidade. A descoberta dos irracionais é um grande marco da história da Matemática.

Foi um filósofo e matemático do período clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a primeira instituição de educação superior do mundo ocidental. Nasceu na Atenas Clássica e veio a falecer no mesmo lugar de nascimento, fundador da Academia de Platão, foi influenciado por Sócrates, Pitágoras, Heráclito, Parmênides, entre outros. Estudou Filosofia com Sócrates e saiu pelo mundo à procura do saber. Estudou Matemática com Teodoro de Cirene, na África. A academia era uma instituição com propósitos de investigação científica e filosófica. Quase todos os trabalhos da época foram feitos por amigos ou seus discípulos. Platão foi muito importante para a Matemática devido, principalmente, à sua convicção entusiástica de que o estudo da Matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito e que, portanto era essencial que fosse cultivado pelos filósofos e pelos que deveriam governar o Estado ideal. O lema da Academia era: “Que aqui não adentrem aqueles não versados em Geometria”. Platão apresentou uma descrição dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses sólidos, juntando triângulos, quadrados e pentágonos para formas as suas faces.

Euclides de Alexandria foi um professor, matemático platônico e escritor grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Além de sua principal obra, "Os Elementos", Euclides escreveu sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Faleceu em Alexandria, no Egito e seu nascimento ocorreu no século III a.C., local da morte não é conhecido, pois pouco se sabe sobre a vida de Euclides. A data de nascimento e o local são desconhecidos. Provavelmente, sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Foi professor da Universidade de Alexandria, no Egito.

Euclides sistematizou todo o conhecimento geométrico dos seus precursores, intercalando os teoremas já então conhecidos com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado, com uma estrutura única, lógica e formal. Sua obra é o protótipo da Matemática moderna. Afirmava que os axiomas são verdades primitivas, aceitas a priori, e que refletem propriedades observáveis dos objetos do mundo real que estamos modelando e que, a partir dos axiomas, é possível provar outras afirmações. A essas afirmações que serão provadas, daremos o nome de proposições ou teoremas. São de sua autoria: Axioma 1: por dois pontos não coincidentes passa uma e somente uma reta; Axioma 2: para todo segmento de reta AB e todo segmento de reta CD, existe um único ponto E tal que B está entre A e E e o segmento CD é congruente a outro segmento qualquer; Axioma 3: para todo ponto C e todo ponto A não coincidente com C existe uma circunferência com centro C e raio congruente com CA; Axioma 4: todos os ângulos retos são congruentes entre si; e Axioma 5: por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma e uma só paralela a tal reta. Versão de Euclides: Axioma 1: pede-se, como coisa possível, que se tire, de um ponto qualquer para outro ponto qualquer, uma linha reta; Axioma 2: que uma linha reta determinada continua em direção de si mesma, até onde seja necessário; Axioma 3: que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreve um círculo; Axioma 4: todos os ângulos retos são iguais; e Axioma 5: se uma linha reta encontrado-se com outras duas fizer ângulos interno, da mesma parte, menores que dois retos, estas duas retas, produzidas ao infinito, concorrerão para a mesma parte dos ditos ângulos internos.