Animation: Deutung des Integrals als zurückgelegten Weg
- Autor:
- Hoppe
- Thema:
- Integral
Integral = Summe der momentanen Änderungen über einem Zeitintervall
x-Achse: Zeit t in Sekunden
y-Achse: momentane Änderung des Weges ds je Zeiteinheit in Meter je Sekunde (=Geschwindigkeit)
Graph: Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t in m/s
Wir sehen einen Graphen, der die (Momentan-)Geschwindigkeit eines Autos angibt, wobei sich die Geschwindigkeit ständig verändert (=ungleichförmige Bewegung).
Der Graph gibt für jeden Zeitpunkt t an, wie viel Weg (anteilig/momentan) genau zu diesem Zeitpunkt vom Auto zurückgelegt wird. In einfachen Worten: wie groß die (Momentan-)Geschwindigkeit des Autos zu diesem Zeitpunkt ist.
Tachometer: zeigt die Geschwindigkeit v zum Zeitpunkt t in m/s an (=Funktionswert f(t) des Graphen)
Ablesen vom Graphen: Zum Zeitpunkt t = 1s bewegt sich das Auto mit einer (Momentan-)Geschwindigkeit von v = 3,8 m/s. D.h. Würde das Auto eine Sekunde lang konstant in dieser Geschwindigkeit fahren, würde es 3,8 m zurücklegen. Da das Auto nur einen kurzen Moment in genau dieser Geschwindigkeit fährt, legt es nur einen anteiligen Weg zurück. (vgl. Säulenzerlegung des Integrals)
Wie viele Meter hat das Auto nach 5 Sekunden zurückgelegt?
Der Graph sagt uns, wie viel Meter das Auto (anteilig/momentan) zu einem bestimmten Zeitpunkt t zurücklegt. (=Momentangeschwindigkeit)
Um den zurückgelegten Weg über einem Zeitintervall zu bestimmen, berechnet man die Summe der (anteilig/momentan) zurückgelegten Wege zu allen Zeitpunkten in diesem Intervall. Diese Summe entspricht der Fläche zwischen Graphen und x-Achse in diesem Intervall.
Beispiel: Nach 5 Sekunden hat das Auto eine Strecke von ca. 11 m zurückgelegt (=farbiger Flächeninhalt)