Fatias Caídas de uma Esfera
- Autor:
- Eduardo Toffolo
*Se você quiser copiar um (ou mais) desses applets (em inglês), aqui estão os links:*
Fatias Caídas de um Círculo
Fatias Caídas de uma Esfera
Aproximação (Soma Inferior) das "Fatias Caídas de uma Esfera"
Outras Transformações da Esfera
Imagine um círculo em cima de uma linha horizontal. Se nós fizermos muitos (muitos mesmo!!!) cortes verticais no círculo e deixarmos os pedaços caírem em direção à linha, que curva é formada?
Fatias Caídas de um Círculo
Bem, e se nós fizermos o mesmo com uma esfera, isto é, cortá-la seguindo planos paralelos ad infinitum de modo que cada fatia seja um círculo? Que forma tomará o sólido quando todos os pedaços caírem?
Fatias Caídas de uma Esfera
Uma propriedade bastante interessante (além de seu formato) é que, mesmo com a transformação aplicada à esfera, o volume do sólido permanece inalterado, mas a área de sua superfície não.
(Nota: você pode mover os pontos para obter um melhor ajuste).
Aproximação (Soma Inferior) das "Fatias Caídas de uma Esfera"
Esta propriedade pode ser observada usando Cálculo, mas você pode concluir, mais informalmente, que desde que cada fatia da esfera (ie. cada círculo) não se deforma, sua área é a mesma e, portanto, o volume (a "soma de infinitos pedaços de área") do sólido formado é o mesmo que o da esfera original.
Este tipo de argumento (Princípio de Cavalieri) foi usado por Arquimedes para concluir que a soma entre o volume do duplo cone e o volume da esfera é igual ao volume do cilindro.
Nós podemos pensar em mais algumas transformações da esfera. Por exemplo, se as fatias da esfera caíssem sobre um cilindro no lugar de uma superfície plana, que sólido seria formado? E se nós cortássemos as "Fatias Caídas de uma Esfera" (cortes verticais perpendiculares aos cortes feitos na esfera original) e deixássemos as fatias caírem numa superfície plana? As respostas são os sólidos à esquerda (vermelho e laranja) e à direita (azul e roxo), respectivamente, no applet abaixo (você consegue descobrir quais são as funções que definem os sólidos?).
Outras Transformações da Esfera
Mais uma vez, ambas as tranformações conservaram o volume mas não a área da superfície do sólido. Note que todas as transformações apresentadas aqui são resultados da diferença entre as funções que descrevem os dois hemisférios de uma esfera e a função que define a metade inferior de um cilindro horizontal.
Por último, é legal notar que se nós cortarmos verticalmente a esfera seguindo uma mesma direção, deixarmos os pedaços caírem no plano (e colarmos os pedaços), cortarmos verticalmente na direção perpendicular aos cortes originais e então novamente deixarmos cair (sólido azul e roxo à direita), o resultado final é diferente do obtido ao cortar a esfera em ambas as direções e só após deixar cair (sólido de revolução das "Fatias Caídas de um Círculo").