Ein Vektor ist eine Gerade genau dann, wenn gilt,
und zwar die Gerade die Möbiusquadrik, wenn ist.
Ist eine Gerade, so ist die polare Gerade.
Schnittgeraden erzeugen elliptische Kreisbüschel,
deren polare Geraden erzeugen hyperbolische,
Berührgeraden erzeugen parabolische Kreisbüschel.
Dabei entstehen die Kreise als Schnitte der Ebenen durch die Gerade.
Ist eine Berührgerade, so sind Berührgeraden, welche die Möbiusquadrik in demselben Berührpunkt berühren. Durch die Multiplikation mit wird ein Drehsinn für die Berührgeraden erklärt.
Zwei Geraden schneiden sich, falls neben und auch gilt.
Eine Schnittgerade und eine Berührgerade schneiden sich im Berührpunkt, falls gilt.
Zu jedem gibt es zwei verschiedene komplexe Vektoren mit , und . Für diese Vektoren gilt dann mit einem geeigneten .
Begründung: Die Gleichung hat zwei verschiedene isotrope Lösungen (d.h. ) im komplexen 3-dimensionalen Vektorraum .
Für zwei verschiedene Berührgeradenvektoren mit kann der normierte Geradenvektor als Verbindungsgerade der beiden Punkte auf der Möbiusquadrik gedeutet werden.
Begründung: folgt aus den Entwicklungsregeln (s. S. zuvor).
Schneiden sich die beiden Berührgeraden, so liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik in einem Kreis schneidet.
Hinweis:Die Aussagen oben sind eigentlich Aussagen über die Objekte einer komplexen projektiven Ebene mit nicht-ausgeartetem komplexen Kegelschnitt: Die Begriffe "Punkte", "Polare", "Tangenten" etc. würden aber für ein ziemliches Durcheinander sorgen: "Punkte" werden von den Geradenvektoren des Geradenraums und deren komplexen Vielfachen repräsentiert!
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