Geometrische Deutung I
- Ein Vektor ist eine Gerade genau dann, wenn gilt, und zwar die Gerade die Möbiusquadrik, wenn ist.
- Ist eine Gerade, so ist die polare Gerade.
- Schnittgeraden erzeugen elliptische Kreisbüschel, deren polare Geraden erzeugen hyperbolische, Berührgeraden erzeugen parabolische Kreisbüschel. Dabei entstehen die Kreise als Schnitte der Ebenen durch die Gerade.
- Ist eine Berührgerade, so sind Berührgeraden, welche die Möbiusquadrik in demselben Berührpunkt berühren. Durch die Multiplikation mit wird ein Drehsinn für die Berührgeraden erklärt.
- Zwei Geraden schneiden sich, falls neben und auch gilt.
- Eine Schnittgerade und eine Berührgerade schneiden sich im Berührpunkt, falls gilt.
- Zu jedem gibt es zwei verschiedene komplexe Vektoren mit , und . Für diese Vektoren gilt dann mit einem geeigneten . Begründung: Die Gleichung hat zwei verschiedene isotrope Lösungen (d.h. ) im komplexen 3-dimensionalen Vektorraum .
- Für zwei verschiedene Berührgeradenvektoren mit kann der normierte Geradenvektor als Verbindungsgerade der beiden Punkte auf der Möbiusquadrik gedeutet werden. Begründung: folgt aus den Entwicklungsregeln (s. S. zuvor). Schneiden sich die beiden Berührgeraden, so liegen in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik in einem Kreis schneidet.