Дөрвөн өнцөгтийн элементүүд

Теорем-1: /Братшнейдерийн теорем/ $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cdot \cos (\beta +\gamma )$ (2) тэнцэтгэл биелэгдэнэ. Үүнийг дөрвөн өнцөгтийн хувь дахь Косинусын теорем гэж нэрлэдэг. Баталгаа-1. Теорем-2: /Птолемейн тэнцэтгэл биш/ Дурын $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн хувьд $AC\cdot BD \leq AB\cdot CD+BC\cdot DA(1)$ тэнцэтгэл биш биелэгдэнэ. $ABCD$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан үед л (1) тэнцэтгэл биш тэнцэлд хүрнэ. Баталгаа-1.

$A,B$ оройгоос $BD,AC$ диагоналуудад $X,Y$ цэгүүдийг $\measuredangle XAB=\measuredangle DAC,\measuredangle YBA=\measuredangle DCA$ байхаар авья. $AX\bigcap BY=E\Rightarrow \measuredangle BAC=\measuredangle EAD\Rightarrow \Delta ABE\simeq \Delta ACD\Leftrightarrow$ $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}\Leftrightarrow AB\cdot CD=AC\cdot BE(*)$ мөн $\Delta AED\simeq \Delta ABC\Leftrightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{ED}{BC}\Leftrightarrow AD\cdot BC=AC\cdot ED(**)$ болно. $(*),(**)$ харгалзуулан нэмбэл $AB\cdot CD+DA\cdot BC=AC\cdot (BE+ED)\geq AC\cdot BD$ байна. Үүнд: $BE+ED>BD$ Баталгаа-2. (2) томъëоноос $\cos (\beta +\gamma )\geq -1$ гэж орлуулхад батлах зүйл гарна. Теорем-3:/Птолемейн теорем/ Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийг тойрогт багтааж болох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь диагоналиудын үржвэр нь эсрэг орших талуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байх явдал юм. Баталгаа Теорем-4:/Брахмагүпийн томьëо/ $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos^2 (\frac{\beta +\gamma }{2})}$ байна. Үүнд: $p=\frac{a+b+c+d}{2}$

Дөрвөн өнцөгтийн элементүүд

Nové materiály

Objevujte materiály

Objevte témata