Ausblick

Autor:
Walter Füchte
Der Wunsch nach zusätzlichen Werkzeugen für Kegelschnitte entstand bei der Arbeit an dem jetzt öffentlichen GeToolbar ImagegebraBook Möbiusebene. In der ebenen Möbiusgeometrie sind neben den Punkten und Kreisen vor allem bizirkulare Quartiken von Bedeutung. Wie angedeutet, sind bizirkulare Quartiken nichts anderes als Projektionen von Kegelschnitten auf die Riemannsche Zahlenkugel, bzw. in die Gausssche Zahlenebene. In dem Book werden die Zusammenhänge zwischen konfokalen Kurvensystemen und komplex-analytischen Funktionen, vor allem den elliptischen Funktionen, geometrisch dargestelt und theoretisch beleuchtet. Elliptische Funktionen (2. Grades) sind komplex-analytische Funktionen, die einer elliptischen Differentialgleichung genügen:
Einige Fälle, in denen Brennpunkte, das sind die Nullstellen von , zusammenfallen, haben wir genannt: Lösungskurven sind bei geeigneter Normierung in einem geeigneten Koordinatensystem konfokale Kegelschnitte. Bei 2 doppelt zählenden Brennpunkten, bzw. einem 4-fach zählenden Brennpunkt erhält man als Lösung hyperbolische, bzw. parabolische Kreisbüschel. 4 verschiedene Brennpunkte führen nicht in jedem Falle auf konfokale bizirkulare Quartiken: diese liegen nur dann vor, wenn die absolute Invariante der 4 Brennpunkte, und damit die identische absolute Invariante der elliptischen Funktion reell ist (K. Lamotke Riemannsche Flächen Springer 2009).
  • , wobei das Doppelverhältnis der 4 Punkte ist.
Die absolute Invariante ist nur dann reell, wenn
  • das Doppelverhältnis der 4 Punkte reell ist; die Punkte liegen in diesem Fall auf einem Kreis und es ist
  • oder wenn ist; die Punkte liegen bei geeigneter Paarbildung spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen und es ist
Die Sonderfälle , bzw. zeichnen sich durch zusätzliche Symmetrien aus: harmonische Lage, falls die 4 Brennpunkte verschieden sind, bzw. Tetraederlage! Ist die absolute Invariante nicht reell, gibt es dennoch geschlossene Lösungs-Kurven. Die elliptischen Funktionen sind doppelt-periodisch, daraus ergibt sich, dass in speziellen Richtungen geschlossene Kurven liegen müssen. Im Gegensatz zu den genannten konfokalen Kurvennetzen ist das Netz der geschlossenen Kurven nicht orthgonal, besitzt aber teilweise ähnliche Eigenschaften (Winkelhalbierenden-Kurven der Brennkreise etc.). Von welcher Art diese geschlossenen Kurven sind, ist uns leider gänzlich unbekannt. Selbst in der "Bibel" über Spezielle ebene Kurven von H. Wieleitner Leipzig 1908 sind wir nicht fündig geworden.

Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

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