Hyperbolische Ebene
Eine Ebene , welche die Möbiusquadrik in einem reellen Kreis schneidet, besteht in aus sich schneidenden Geraden, welche eine reelle Unteralgebra der LIE-Algebra bilden; dazu gehört die reelle Zerlegung . Die Geraden aus gehen durch den Pol der Ebene und projizieren die Punkte auf der Möbiusquadrik paarweise auf das Innere des Kreises.
Im "Kreisscheiben"-Modell der hyperbolischen Ebene von Beltrami und F. Klein sind "hyperbolische Punkte" die im Inneren des Kreises liegenden Punkte und "hyperbolische Geraden" die im Inneren liegenden Sehnen.
Einige Aussagen der vorangegangenen Seite über Dualität treffen auf die so reduzierten Punkte und Geraden nicht mehr zu: "Geraden" müssen sich nicht mehr schneiden, aber auch das euklidische Parallelenaxiom ist nicht mehr gültig: zu einer Geraden und einem nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt gibt es verschiedene nicht-schneidende Geraden durch .
Im obigen Applet ist links das Kreisscheiben-Modell der hyperbolischen Ebene angezeigt: die Punkte und mit ihnen die Geraden sind beweglich. Den Geraden entsprechen in der 3D-Graphik zwei Ebenen durch den Pol , welche die Möbiusquadrik in zwei zum absoluten Kreis orthogonalen Kreisen schneiden.
In der 3D-Graphik ist zusätzlich ein euklidisches KOS angedeutet, deren Gerade durch den Pol geht. Von aus werden der absolute Kreis und die beiden dazu orthogonalen Kreise stereographisch in die rechte 2D-Graphik projiziert.
Man erhält auf diese Weise das Poincarésche Kreismodell der hyperbolischen Ebene: "Geraden" sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von orthogonalen Kreisen. Die Winkel zwischen zwei "Geraden" sind die Winkel zwischen den Kreisen.
Würde man auf dem absoluten Kreis wählen, erhielte man das Poincarèsche Halbebenen-Modell der hyperbolischen Ebene: der absolute Kreis ist dann meist die x-Achse, die Punkte liegen in der oberen Halbebene, die Geraden sind die in der oberen Halbebene verlaufenden orthogonalen Kreisbögen.
Abstand und Winkel
mißt den hyperbolischen Abstand zweier "Punkte" bzw. zweier "Geraden" aus , falls die Diskriminante negativ ist, das ist der Fall, wenn sich außerhalb der Möbiusquadrik schneiden.
mißt den hyperbolischen Winkel zwischen , falls positiv ist, also wenn sich innerhalb der Möbiusquadrik schneiden.
Man vergleiche dazu 4.9 Doppelverhältnis und Wurzel 1.
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