Médianes d'un triangle

Démonstration du concours des médianes avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :[br][br]Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.[br]G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;[br]de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).[br][br]On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.[br][br]Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.[br][br][b]Outils GeoGebra[/b][br]Le centre de gravité se trouve avec les commandes [br][list][br][*]G = CentreGravité[][br][/*][*]ou bien avec le point X(2) de ETC (encyclopédie des points du triangle) :[br] G = TriangleCentre[A,B,C,2][br][/*][/list][color=#0066cc]Descartes et les Mathématiques - [url=http://debart.pagesperso-orange.fr/college/aire_triangle.html#ch4e][color=#0066cc]Aire du triangle[/color][/url][br][url=http://www.debart.fr/geogebra/geometrie_triangle_geogebra.html][color=#0066cc]Droites remarquables avec GeoGebra[/color][/url][/color]

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