Normal a una superficie
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Correcaminos (bip, bip).
En vez de una curva, podemos recorrer una superficie. O mejor dicho, podemos recorrer una trayectoria en una superficie.
Sea F(u, v) la expresión de una superficie según los parámetros u y v. Si u(t) y v(t) son, a su vez, expresiones de los parámetros u y v según un parámetro t, entonces la expresión f(t) = F(u(t), v(t)) corresponderá a una curva sobre la superficie.
Veamos un ejemplo. En la construcción la superficie toroidal F está definida paramétricamente, a partir de dos radios dados R y r, como:
Fx(u, v) = (R + r cos(u)) cos(v)
Fy(u, v) = (R + r cos(u)) sen(v)
Fz(u, v) = r sen(u)
Si ahora tomamos u(t) = 3t, v(t) = 2t, obtenemos la curva f(t) definida por:
fx(t) = Fx(u(t), v(t)) = (R + r cos(3t)) cos(2t)
fy(t) = Fy(u(t), v(t)) = (R + r cos(3t)) sen(2t)
fz(t) = Fz(u(t), v(t)) = r sen(3t)
Así, podemos viajar por la superficie F siguiendo la curva f. En la construcción, el botón 
permite abrir o cerrar un panel de configuración. En él, puedes elegir si se visualizan las líneas de la superficie y el triedro de Frenet.
Ahora surge un dilema. Podemos optar por viajar por la curva f o bien optar por viajar por la superficie F, siguiendo la trayectoria de f. Ambas cosas son lo mismo para un espectador exterior (como somos ahora nosotros al ver la escena que muestra la construcción) pero no para alguien que viajase en el lugar del punto. Para ese viajero, viajar por la superficie significa mantenerse en todo instante perpendicular a ella (ya sea en sentido "hacia afuera" o en sentido "hacia dentro"), es decir, mantener el sentido y dirección de la normal a la superficie en ese punto. Mientras que viajar por la curva significa mantenerse en el sentido y dirección del vector binormal B del triedro de Frenet (perpendicular a la dirección del movimiento, T, y a la dirección de curvatura, N).
Por lo tanto, cuando adoptemos el punto de vista local de este viajero, la escena que se mostrará en cada instante cambiará en función de nuestra elección:
permite abrir o cerrar un panel de configuración. En él, puedes elegir si se visualizan las líneas de la superficie y el triedro de Frenet.
Ahora surge un dilema. Podemos optar por viajar por la curva f o bien optar por viajar por la superficie F, siguiendo la trayectoria de f. Ambas cosas son lo mismo para un espectador exterior (como somos ahora nosotros al ver la escena que muestra la construcción) pero no para alguien que viajase en el lugar del punto. Para ese viajero, viajar por la superficie significa mantenerse en todo instante perpendicular a ella (ya sea en sentido "hacia afuera" o en sentido "hacia dentro"), es decir, mantener el sentido y dirección de la normal a la superficie en ese punto. Mientras que viajar por la curva significa mantenerse en el sentido y dirección del vector binormal B del triedro de Frenet (perpendicular a la dirección del movimiento, T, y a la dirección de curvatura, N).
Por lo tanto, cuando adoptemos el punto de vista local de este viajero, la escena que se mostrará en cada instante cambiará en función de nuestra elección:
- Si activamos la casilla Surface Normal, veremos la escena como si viajásemos por la superficie, manteniéndonos siempre perpendicular a ella (es decir, perpendiculares al plano tangente a la superficie en ese punto). Podemos elegir entre el sentido 1 o el sentido opuesto 2, ya que la normal admite ambos sentidos. También podemos elegir (casilla Show) si se muestra o no el vector normal elegido.
- Si la casilla Surface Normal se encuentra desactivada, veremos la escena como si viajásemos por la curva, es decir, como si la superficie no existiese. En tal caso, nuestra "vertical" vendrá dada por el sentido y dirección del vector binormal B del triedro de Frenet.
- s = (1 - p) t1 + p t2
- duF = {Derivada(Fx(x, v(s))), Derivada(Fy(x, v(s))), Derivada(Fz(x, v(s)))}
- duFs = {duF(1, u(s)), duF(2, u(s)), duF(3, u(s))}
- dvF = {Derivada(Fx(u(s), x)), Derivada(Fy(u(s), x)), Derivada(Fz(u(s), x))}
- dvFs = {dvF(1, v(s)), dvF(2, v(s)), dvF(3, v(s))}
- normal = VectorUnitario((duFs(1), duFs(2), duFs(3))) ⊗ VectorUnitario((dvFs(1), dvFs(2), dvFs(3)))
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.