Upisana kruznica
- Author:
- MashaStojic
Teorema 10.3.5. Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tački koja je centar upisanog kruga datog trougla.
Dokaz:
Na aplwtu tačka O trougla ABC je presečna tačka simetrala OA, OB i OC uglova α, β i γ koje su označene sa sA, sB i sC. Duži OM, ON i OP su normale tačke O na stranice BC, CA i AB. Pravougli trouglovi APO i ANO su podudarni jer imaju zajedničku hipotenuzu i po jedan zajednički ugao α/2. Otuda OP=ON.
Takođe, podudarni su pravougli trouglovi BPO i BMO jer imaju zajedničku hipotenuzu i zajednički ugao β/2, pa je i OP=OM. Time je dokazano da je OP=ON=OM.
Podudarni su i pravougli trouglovi CMO i CNO, jer imaju zajedničku hipotenuzu, zajednički prav ugao i po jednu jednaku katetu OM = ON. Odatle sledi jednakost uglova OCN i OCM, što znači da je prava CO simetrala ugla γ, a O je značajna tačka sve tri simetrale. Iz istih jednakosti OP=ON=OM sledi da je O centar upisanog kruga datog trougla.