Nullenstellenarten ganzrationaler Funktionen

Nullstellenarten ganzrationaler Funktionen Wir möchten die Eigenschaften der Graphen zu Funktionen untersuchen, die an einer Stelle eine mehrfache Nullstelle haben, deren Funktionsterm sich also schreiben lässt in der Form: mit x Element der reellen Zahlen und n Element der natürlichen Zahlen. Insbesondere interessiert uns:
  • Verlauf des Graphen: z.B. von links oben nach rechts oben (l.o. => r.o.)
  • Vorzeichenwechsel: Tritt ein Vorzeichenwechsel an der Position der Nullstelle auf ?
  • Verlauf bei negativem Faktor „b“: z.B. von links oben nach rechts oben (l.o. => r.o.)
  • Vorzeichenwechsel bei neg. Faktor „b“: Tritt ein Vorzeichenwechsel an der Position der Nullstelle auf?
  • Wie unterscheidet sich der Graph an Nullstellen höherer Ordnung vom Graphen an Nullstellen niederer Ordnung?
Hinweise zur Bedienung:
  • Mit Hilfe der Checkboxes kannst Du Dir jeweils die Graphen ZWEIER Funktionen zum gleichen Exponenten anzeigen lassen, z.B. also die Graphen von und .
  • Einen negativen Faktor kannst Du Dir mit Hilfe des Schiebereglers erzeugen – wähle z.B. b = -1.
  • Mit Hilfe des Schiebereglers „a“ kann man die Graphen der Funktionen auf der verschieben.
Aufgaben:
  1. Befülle die Tabelle unten für die Graphen der Funktionen mit den Exponenten ![
  2. Was folgerst Du daraus für die Graphen der Funktionen mit den Exponenten bzw. mit n element der natürlichen Zahlen?
Ergebnis:
  • Hat eine Funktion eine Nullstelle ungerader Ordnung, dann ___________ die Funktionswerte dort bei steigenden x-Werten das Vorzeichen.
  • Bei Nullstellen gerader Ordnung _______________ der Graph lediglich die x-Achse, es findet ________ Vorzeichenwechsel statt.
  • Neben Nullstellen höherer Ordnung verläuft der Graph zunächst __________________ als neben Nullstellen tieferer Ordnung.