Incentro

Autore:
Tomasi Alessandra
Argomento:
Geometria, Circonferenza inscritta, Punti speciali, Triangoli
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto. Tale punto è detto incentro ed è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.
IpotesiTesi
  • ABC è triangolo;
  • AI è la bisettrice dell'angolo in A;
  • BI è la bisettrice dell'angolo in B  
  • CI è la bisettrice dell'angolo in C;
  • I è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo
Costruzione Disegnare un triangolo ABC; la bisettrice AI dell'angolo in A e la bisettrice BI dell'angolo in B (sono incidenti in I perché tagliate dalla trasversale AB formano angoli coniugati interni non supplementari).
Dimostrazione Prima parte:
  1. I appartiene alla bisettrice dell'angolo in A allora è equidistante dai suoi lati cioè IE=IF
  2. I appartiene alla bisettrice dell'angolo in B allora è equidistante dai lati cioè IF=ID
  3. per 1. e 2. e per la transitività della congruenza si ottiene IE=ID 
  4. Essendo IE=ID allora I è un punto della bisettrice dell'angolo in C , così anche la terza bisettrice passa per I. 
Seconda parte
  • Dalla dimostrazione fatta risulta IE=IF=ID quindi I è il centro della circonferenza tangente ai tre lati del triangolo, cioè della circonferenza inscritta.
c.v.d.

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