Postuláty (Úkoly prvotné)

Postulát 1.

Vytvořit úsečku, která spojuje dva dané body.

Postulát 2.

Danou úsečku na jedné i druhé straně prodloužit tak daleko, jak potřebujeme.

Postulát 3.

Vytvořit kruh o daném středu, na jehož obvodě leží daný bod.

Postulát 4.

Všechny pravé úhly sobě rovny jsou. Pozn.: P.Vopěnka řadí tento postulát mezi axiomy.

Postulát 5. - O ROVNOBĚŽNOSTI

Servítova formulace: Nechť úsečka u protíná úsečky p,q tak, že na jedné straně úsečky u je součet vnitřních úhlů ,, které svírají úsečky p,q s úsečkou u, menší než dva pravé úhly. Potom na této straně jest prodloužit úsečky p,q tak, aby se tato jejich prodloužení protla. Formulace pro účely výuky: Jestliže úsečka protíná dvě úsečky tak, že na jedné straně je součet vnitřních přilehlých úhlů menší než dva pravé úhly, pak lze na této straně úsečky prodloužit tak, aby se tato jejich prodloužení protla.

Poznámka 1

První tři postuláty (vyznačené červeně) jsou vlastně návody na KONSTRUKCE. Eukleidovskou konstrukcí rozumíme takovou konstrukci, jejíž jednotlivé kroky jsou prováděny výhradně dle postulátů 1-3.

Poznámka 2

5. postulát bývá často nahrazován tzv. Playfairovým axiomem: Playfairův axiom verze a) (slabší verze): Daným bodem neležícím na dané přímce lze vést nejvýše jednu rovnoběžku. Toto tvrzení lze vyvodit (s použitím prvních 4 postulátů) z 5. postulátu. Naopak - vezmeme-li první čtyři postuláty a tuto slabší verzi Playfairova axiomu, lze odtud vyvodit 5. postulát. Sloučí-li se tato slabší verze s tvrzením I.31 (které je nezávislé na 5.postulátu a říká: Daným bodem neležícím na dané přímce lze vést aspoň jednu rovnoběžku.), dostáváme silnější verzi: Playfairův axiom verze b) (silnější verze): Daným bodem neležícím na dané přímce lze vést právě jednu rovnoběžku. Toto je formulace známá ze SŠ učebnic. Vezmeme-li pouze soustavu prvních čtyř axiomů (vynecháme 5. axiom), dostáváme tzv. absolutní (neutrální) geometrii. 5. postulát je ekvivalentní s Playfairovým axiomem v tom smyslu, že obě soustavy:
  • první 4 postuláty (absolutní geometrie) + 5. postulát
  • první 4 postuláty (absolutní geometrie) + Playfairův axiom
vytvářejí tutéž soustavu tvrzení a důsledků (Eukleidovskou geometrii). (Pozor, 5. postulát není ale s Playfairovým axiomem ekvivalentní logicky - existují geometrie, ve kterých jeden je platný a druhý není) Podrobnosti: Robin Hartshorne - Geometry- Euclid and Beyond (PDF) - str.37- 40

Poznámka 3

Ve smyslu uvedeném v poznámce 2 jsou s 5.postulátem vedle Playfairova axiomu ekvivalentní také mnohá další tvrzení, např.:
  • Tvrzení I.32 - Věta o součtu úhlů v trojúhelníku (2. část)
  • Každému trojúhelníku lze opsat kružnici
  • Existuje čtyřúhelník, jeho všechny vnitřní úhly jsou pravé.
  • Tvrzení I.47 - Pythagorova věta