X(89) Isogonal conjugate of X(45)
- Auteur:
- chris cambré
- Onderwerp:
- Coördinaten
isogonal conjugate of X(45)
X45, triangle center X(45) is X(9)-beth conjugate of X(1).
X(9) is the Mittenpunkt. This is constructed as follows:
Draw the lines between the centers of the excircles of the triangle and the midpoints of the sides. The Middenpunkt is the point where the three lines cross.
X(1) is the incenter.
A beth- conjugate is defined as follows:
Let P = p : q : r and U = u : v : w be points, neither lying on a sideline of ABC.
The P beth conjugate of U is the point h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
where
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
where a', b', c' are - a + b + c, a - b + c, a + b - c.
The isogonal conjugate of X45, triangle center X(45) can be constructed as follows:
- Reflect the lines AX45, BX45, CX45 about the bisectors of the triangle ABC (=blue lines)
- These blue lines cross at the triangle center X(89). The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the triangle.
isogonale toegevoegde van X(45)
X45, driehoekscentrum X(45) is de X(9)-beth toegevoegde van X(1).
X(9) is het middenspunt. Dit construeer je als volgt:
Teken de lijnen tussen de middelpunten van aangeschreven cirkels van de driehoek en de middens van de drie zijden. Het middenspunt is het punt waar deze lijnen elkaar snijden.
X(1) is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
De P-beth toegevoegde van U is het punt h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) : h(b,c,a,q,r,p,v,w,u) : h(c,a,b,r,p,q,w,u,v),
met
h(a,b,c,p,q,r,u,v,w) = 2abcp(cos B + cos C)(ua'/p + vb'/q + wc'/r) - (a+b+c)a'b'c'u,
waarin a', b', c' gelijk zijn aan - a + b + c, a - b + c, a + b - c.
Het isogonale toegevoegde punt van X45, het driehoekscentrum X(45) construeer je als volgt:
- Spiegel de rechten AX45, BX45, CX45 t.o.v. de bissectrices van ABC (=blauwe lijnen).
- Deze blauwe lijnen snijden elkaar in het driehoekscentrum X(89).