Binomiális együttható és tétel
- Szerző:
- tomiland
A binomiális együttható
Binom fogalma, együtthatói
Legyen n, k N és n k. Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a számát így
jelöljük: . (Olvasd: "en a ká felett".)
A kéttagú kifejezést idegen szóval binomnak nevezzük. A binomok hatványozásánál fellépő együtthatóknak innen származik az elnevezése. Az számokat binomiális együtthatóknak nevezzük. Az n és k természetes számok, a k nem lehet nagyobb az n-nél.
Például egy háromelemű halmaznak nullaelemű; egyelemű; kételemű;
háromelemű részhalmaza van.
Feladat:
Vizsgáljuk a {P, Q, R} háromelemű halmazt. Könnyű belátni, hogy e halmaznak 1 nullaelemű,
3 egyelemű, 3 kételemű és 1 háromelemű részhalmaza van:
; {P}; {Q}; {R}; {P; Q}; {P; R}; {Q; R}; {P; Q; R},
tehát =1; =3; =3; =1 .
Binomiális tétel
Ha a és b valós számok, n pedig pozitív egész szám, akkor
(a+b)=a+ab+ab+...+b.
Például
Ha az n és k pozitív egész szám, és kn , akkor
Egy n elemű halmaz k elemű részhalmazának a megadása ugyanis éppen azt jelenti,
hogy az n különböző elem közül úgy választunk ki k elemet, hogy mindegyik legfeljebb
egyszer választható és nem számít a kiválasztott elemek sorrendje.
Ezért olyan pozitív egész n és k számok esetében, aholkn ,
.
Ezzel a jelöléssel könnyen felírhatjuk, hogyan számíthatjuk ki n különböző elem k-ad
osztályú ismétléses kombinációinak a számát:
.
A kombinációkat nem értelmezzük az n:=0 és a k:=0 esetekben, a binomiális
együtthatókat azonban igen. Ezért ezekben az esetekben a definíció alapján állapíttjuk meg,
hogy
, és minden pozitív egész n esetén .