Pied de hauteur, orthocentre de la base du tétraèdre

Un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique.[br]Si le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la base, le tétraèdre est orthocentrique.[br][br]Trois points B, C et D dans le PlanxOy.[br]H orthocentre de BCD : H = TriangleCentre[B,C,D,4] ;[br]A un point de la perpendiculaire à PlanxOy passant par H ;[br]ABCD un tétraèdre de base BCD.[br][br]Le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la face opposée.[br][br]Montrer que la droite (BC) est orthogonale à (AH) et perpendiculaire à (HD),[br]en déduire que (BC) est orthogonale à (AD),[br]conclure que le tétraèdre est orthocentrique.
[i]Solution[/i][br]La droite (AH), orthogonale au plan (BCD), est orthogonale à toutes les droites de ce plan donc à la droite (BC).[br]H étant l'orthocentre du triangle BCD, (DH) hauteur issue de D est perpendiculaire au côté (BC).[br][br]Le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DH). Ces deux droites distinctes et sécantes en H ne sont pas parallèles ; elles sont orthogonales à la droite (BC), donc la droite (BC) est orthogonale au plan (ADH).[br]Cette droite (BC), orthogonale au plan (ADH), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, donc à la droite (AD).[br]Les droites (BC) et (AD) sont orthogonales.[br][br]Une démonstration identique montrerait que (CD) et (AB) sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique ; les arêtes (BD) et (AC) sont aussi orthogonales.[br][br]Avec GeoGebra, créer une vue de face avec le triangle BCD pour visualiser ces orthogonalités.[br][br]Descartes et les Mathématiques : [url=http://www.debart.fr/geogebra_3D/geogebra_3D_tetraedre.html][color=#0066cc]tétraèdre avec GeoGebra 3D[/color][/url]

Information: Pied de hauteur, orthocentre de la base du tétraèdre