Μέτρηση του ύψους πυραμίδας
Μέτρηση του ύψους πυραμίδας με τη βοήθεια της σκιάς της
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
Η εργασία που θα περιγράψουμε σ’ αυτό το φύλλο εργασίας προσπαθεί να εξηγήσει πως, κατά την παράδοση, ο Θαλής Ο Μιλήσιος (640 ή 624 π.Χ. - 546 π.Χ. είναι ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και ιδρυτής της Ιωνικής Σχολής της φυσικής φιλοσοφίας στη Μίλητο), κατόρθωσε να υπολογίσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπος από το μήκος της σκιάς της, αποσπώντας έτσι το θαυμασμό του βασιλιά της Αιγύπτου Άμασι. Η τεχνική που χρησιμοποίησε δεν είναι ακριβώς γνωστή. Εμείς εδώ θα υλοποιήσουμε την τεχνική που, κατά τον Πλούταρχο (45 – 120 μ.Χ. Έλληνας ιστορικός, βιογράφος και δοκιμιογράφος από τη Χαιρώνεια της Βοιωτίας), χρησιμοποίησε ο Θαλής.
Ο Πλούταρχος μας διηγείται τα εξής: «Αφού έστησε το ραβδί του ο Θαλής στο τέλος της σκιάς της πυραμίδας από τα δύο όμοια τρίγωνα που προκύπτουν από την επαφή της ακτίνας του ήλιου, απέδειξε ότι o λόγος που είχε η σκιά της πυραμίδας προς τη σκιά της ράβδου ήταν ο ίδιος με το λόγο που είχε το ύψος της πυραμίδας προς το μήκος της ράβδου».
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
Στο αριστερό τμήμα της οθόνης υπάρχει μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, ο Ήλιος και η ακτίνα που διέρχεται από την κορυφή της και δημιουργεί την κορυφή της σκιάς της πυραμίδας. Στο δεξιό τμήμα της οθόνης υπάρχει η κάτοψη της πυραμίδας και της σκιάς της, καθώς και κάποια κουμπιά για το δυναμικό χειρισμό της κατασκευής. Με κρατημένο το δεξί κουμπί του ποντικιού μετακινείτε όλη την κατασκευή στο αριστερό τμήμα της οθόνης για να τη δείτε από διάφορες οπτικές γωνίες.
1. Πατήστε το κουμπί «Κίνηση Ηλίου Έναρξη». Ο ήλιος κινείται από την Ανατολή προς τη Δύση. Παρατηρήστε, όπως έκανε και ο Θαλής, πως κινείται η σκιά της πυραμίδας. Καταγράψτε την παρα-τήρησή σας.
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
2. Πατήστε το κουμπί «Τροχιά Ηλίου». Βλέπετε την τροχιά της φαινόμενης ημερήσιας κίνησης του Ηλίου. Μετακινώντας το σημείο Τ2 μετακινείτε την τροχιά του ηλίου προς Βορρά-Νότο, με αυτόν τον τρόπο εξομοιώνετε την αλλαγή της θέσης της μέρα παρά μέρα κατά τη διάρκεια του έτους. Μετακινώντας το σημείο Τ1 μετακινείτε τη θέση των σημείων του ορίζοντα και έτσι αλλάζετε τον προσανατολισμό της πυραμίδας σε σχέση με την τροχιά.
Μετακινήστε το σημείο Τ2 προς Βορράν. Τι συμβαίνει με τη σκιά της πυραμίδας;
Απάντηση:…………………………………………………………………………………………
Επομένως για να αφήνει σκιά η πυραμίδα πρέπει η τροχιά να …. :(Συμπληρώστε την απάντηση)
Απάντηση:…………………………………………………………………………………………… (Αυτό συμβαίνει τους χειμερινούς μήνες).
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 – ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΚΙΑΣ
1. Μετακινήστε, αν χρειάζεται, το σημείο Τ2 έτσι ώστε να φαίνεται η σκιά της πυραμίδας. Ποιο ευθύγραμμο τμήμα εκφράζει το μήκος της σκιάς;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
2. Ποιο σημείο της σκιάς δε θα μπορούσε να προσεγγίσει στην πράξη ο Θαλής; Επομένως ποια δυσκολία είχε για να μετρήσει το μήκος της σκιάς;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
3. Υπάρχει κάποια θέση της σκιάς στην οποία ξεπερνιέται η παραπάνω δυσκολία; Ναι ή Όχι; Αν ναι τι είδους τρίγωνο σχηματίζει η σκιά στη θέση αυτή;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
4. Μετακινήστε τον Ήλιο (κρατώντας πάνω του πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού ή για πιο ακριβείς κινήσεις κάντε κλικ πάνω του και κρατώντας πατημένο το Shift μετακινήστε τον με τα βελάκια) έτσι, ώστε το τμήμα ΚΕ να γίνει κάθετο στην πλευρά ΑΔ της πυραμίδας. Τι είδους τρίγωνο σχηματίζει η σκιά στη θέση αυτή και ποιο είναι το σημείο Μ;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
5. Όταν η σκιά είχε αυτή τη θέση μπορούσε ο Θαλής να μετρήσει το μήκος της; Με ποιο τρόπο;
Απάντηση: Μήκος σκιάς: ΚΕ = ΚΜ+ΜΕ. Άρα …………………..…………………………………… …………………………………………………………………….……………………………………
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 – ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ
1. Πατήστε το κουμπί «Ράβδος». Εμφανίζεται ένα κατακόρυφα τοποθετημένο ραβδί ΝΛ και η σκιά του ΝΡ. Μετακινήστε το σημείο Ν και τοποθετήστε το έτσι, ώστε το σημείο Ρ να συμπέσει με την κορυφή Κ της σκιάς της πυραμίδας. Που βρίσκεται τώρα το σημείο Λ;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
2. Αλλάξτε το μήκος του ραβδιού ΝΛ, μετακινώντας το σημείο Λ, και επανατοποθετήστε το Ν έτσι, ώστε και πάλι το σημείο Ρ να συμπέσει με την κορυφή Κ. Ισχύει το προηγούμενο συμπέρασμά σας;
Απάντηση:…………………………………………….
3. Ένα άλλο ραβδί ΘΘ΄ είναι τοποθετημένο με τον ίδιο τρόπο με το ΝΛ, αλλά έχετε τη δυνατότητα μετακινώντας το Θ να αλλάζετε το μήκος του και ταυτόχρονα να αλλάζει και η θέση του ώστε το άκρο της σκιάς του να συμπίπτει με το Κ. Πατήστε το κουμπί «Μετρήσεις». Εμφανίζονται τα μήκη, της σκιάς ΚΕ της πυραμίδας (που το υπολογίσαμε στη δραστηριότητα 2.5), του ραβδιού ΝΛ καθώς και της σκιάς του ΝΡ. Εμφανίζεται επίσης ο λόγος ΘΘ΄/ΚΘ΄ του μήκους του μεταβλητού ραβδιού προς τη σκιά του.
4. Πάρτε πέντε διάφορετικά μήκη του ραβδιού ΝΛ (μετακινώντας το σημείο Λ) και συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:
Μήκος
Σκιά
Μήκος/Σκια
Ποιο συμπέρασμα προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα;
Απάντηση:……………………………………………………………………………………………….
5. Μετακινήστε το σημείο Θ και παρατηρήστε τι συμβαίνει με το λόγο Μήκος/Σκια=ΘΘ΄/ΚΘ΄ . Επιβεβαιώνεται το συμπέρασμα που βγάλατε; Ποια είναι η σχέση που έχουν τα ποσά Μήκος και Σκιά;
Απάντηση:…………………………………………………………………………………………….…
6. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο συμπέρασμά σας μπορείτε τώρα να υπολογίσετε το ύψος υ της πυραμίδας; Αν ναι πόσο είναι το ύψος της πυραμίδας που υπάρχει στην οθόνη σας;
Απάντηση:…………………………………………………………………….………………………….